2002-苏豫粤卷-08 单-对数函数的单调性

本题导读

本题考查对数函数的单调性及不等式的基本性质。重点在于通过自变量的范围推理出真数 $x y$ 的范围，再结合底数 $a$ 的取值区间，准确判断对数式 $lo g_{a} (x y)$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷）已知 $0 < x < y < a < 1$ ，则有().

A. $lo g_{a} (x y) < 0$ 　　　　　　　　　　　　　　　　B. 0 < $lo g_{a} (x y) < 1$

C. 1 < $lo g_{a} (x y) < 2$ 　　　　　　　　　　　　　　D. $lo g_{a} (x y) > 2$

🔍【思路分析】

破题导航

分析真数范围：由已知条件 $0 < x < y < a < 1$ 得到 $x, y$ 均小于 $a$ 。利用不等式的同向相乘性质，构建真数 $x y$ 与底数有关的范围。

利用单调性转化：由于底数 $0 < a < 1$ ，对数函数 $f (t) = lo g_{a} t$ 在 $(0, + \infty)$ 上是单调递减的。将真数的范围代入对数函数中，注意不等号方向发生改变，进而确定 $lo g_{a} (x y)$ 的范围。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解法一（严格不等式缩放）：因为 $0 < x < y < a < 1$ ，所以有： $0 < x < a$ $0 < y < a$ 将上述两式同侧相乘（两边均为正数），得： $0 < x y < a^{2}$

已知底数满足 $0 < a < 1$ ，故对数函数 $f (t) = lo g_{a} t$ 在其定义域上单调递减。对不等式 $0 < x y < a^{2}$ 两边同时取以 $a$ 为底的对数，不等号方向改变，得： $lo g_{a} (x y) > lo g_{a} (a^{2})$ 根据对数的运算性质 $lo g_{a} (a^{2}) = 2$ ，所以： $lo g_{a} (x y) > 2$

解法二（特殊值法）：令 $a = \frac{1}{2}$ 。根据条件 $0 < x < y < a < 1$ ，可设 $x = \frac{1}{8}$ ， $y = \frac{1}{4}$ 。此时计算真数： $x y = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$ 代入对数式计算： $lo g_{a} (x y) = lo g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{32}) = lo g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{5} = 5$ 因为 $5 > 2$ ，对比选项可知只有 D 选项符合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数函数 $lo g_{a} t$ 的单调性取决于底数 $a$ 。当 $0 < a < 1$ 时，函数单调递减；当 $a > 1$ 时，函数单调递增。

核心方法：

定性分析中注意不等式两边同取对数时单调性的应用；

选择题中，特殊值法是处理抽象不等式大小关系最快捷有效的手段。

避坑指南：易忽略底数 $0 < a < 1$ 的减函数特征，在取对数时忘记改变不等号的方向，从而误选 A、B 或 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于教材中对数函数图象与性质的经典习题，主要考查学生对“底数在 $(0, 1)$ 区间内对数函数单调性”的深刻理解与应用。

结论推广：若 $0 < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n} < a < 1$ ，则有 $\prod_{i = 1}^{n} x_{i} < a^{n}$ 。在 $0 < a < 1$ 的条件下，两边取以 $a$ 为底的对数可得： $lo g_{a} (\prod_{i = 1}^{n} x_{i}) > n$ 。本题即为 $n = 2$ 时的特殊情况。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件

1985-广东理-17 单-对数函数的单调性

1986-广东文-08 单-集合的交集

∑ ( Math )

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2002-苏豫粤卷-08 单-对数函数的单调性

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