2004-北京春文-12 填-和差化积求值

本题导读

本题考查和差化积公式与三角函数求值。

📌【题干】

Question

$\frac{\sin (\alpha +30^{\circ })-\sin (\alpha -30^{\circ })}{\cos \alpha }$ 的值为　　　。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 和差化积：$\sin (\alpha +30^{\circ })-\sin (\alpha -30^{\circ })=2\cos \alpha \sin 30^{\circ }$。
2. 得 $\cos \alpha$。
3. 原式 $=\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }=1$。

✅【答案】

Success

$1$

✍【详细解析】

Abstract

由和差化积公式，$\sin (\alpha +30^{\circ })-\sin (\alpha -30^{\circ })=2\cos \alpha \sin 30^{\circ }=\cos \alpha$．原式有意义时 $\cos \alpha \ne 0$，故原式 $=\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和差化积求值

核心方法：$\sin (\alpha +30^{\circ })-\sin (\alpha -30^{\circ })=2\cos \alpha \sin 30^{\circ }=\cos \alpha$，原式 $=\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }=1$

避坑指南：和差化积 $\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$；结果与 $\alpha$ 无关恒为 $1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于和差化积公式，教材”三角恒等变换”

结论推广：一般化：$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

方法推广：和差化积后与分母约分，得与 $\alpha$ 无关的常数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 2006-江苏卷-14 填-三角化简求值
• 2006-重庆文-10 单-三角和差角求值
• 2007-大纲Ⅰ文-02 单-同角三角函数求值

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