2006-重庆文-10 单-三角和差角求值

本题导读

本题考查两角和差，以及三角给值求值。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 若 $\alpha ,\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\cos \left(\alpha -\frac{\beta }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin \left(\frac{\alpha }{2}-\beta \right)=-\frac{1}{2}$，则 $\cos (\alpha +\beta )$ 的值等于()

A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{2}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $u=\alpha -\frac{\beta }{2}$，$v=\frac{\alpha }{2}-\beta$。
2. 因 $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，$u=\alpha -\frac{\beta }{2}\in (-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$，$v=\frac{\alpha }{2}-\beta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4})$。
3. $\cos u=\frac{\sqrt{3}}{2}>0$ 且 $u\in (-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})$，故 $u=\frac{\pi }{6}$；$\sin v=-\frac{1}{2}<0$ 且 $v\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4})$，故 $v=-\frac{\pi }{6}$。
4. $\alpha +\beta =2u-2v=2(u-v)=\frac{2\pi }{3}$，$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设 $u=\alpha -\frac{\beta }{2}$，$v=\frac{\alpha }{2}-\beta$，则联立解得 $u+v=\frac{3}{2}\alpha -\frac{3}{2}\beta$，且 $\alpha =\frac{4u-2v}{3},\beta =\frac{2u-4v}{3},\alpha +\beta =2u-2v=2(u-v).$ 由 $\alpha ,\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 知 $u\in \left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$、$v\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}\right)$． $\cos u=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且 $u\in \left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，故 $u=\frac{\pi }{6}$； $\sin v=-\frac{1}{2}$ 且 $v\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4}\right)$，故 $v=-\frac{\pi }{6}$． 于是 $\alpha +\beta =2\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{2\pi }{3}$， $\cos (\alpha +\beta )=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}.$ 选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角和差角求值

核心方法：$\cos \left(\alpha -\frac{\beta }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin \left(\frac{\alpha }{2}-\beta \right)=-\frac{1}{2}$，令 $u=\alpha -\frac{\beta }{2},v=\frac{\alpha }{2}-\beta$，则 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \left[\frac{4}{3}(u-v)\right]$ 不便，改由 $u,v$ 反解 $\alpha ,\beta$ 代入

避坑指南：设 $u=\alpha -\frac{\beta }{2},v=\frac{\alpha }{2}-\beta$，解得 $\alpha =\frac{4u-2v}{3},\beta =\frac{2u-4v}{3}$；由 $u\in (0,\frac{\pi }{2}),v\in (-\frac{\pi }{2},0)$ 定符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 两角和差与二倍角，三角给值求值

结论推广: 设辅助角 $u,v$ 反解 $\alpha ,\beta$，注意象限定符号

方法推广: 已知两个”半差”角，反解目标角并判符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-16 解-两角和差余弦
• 2013-安徽卷文-16 解-三角和角与变换
• 2013-湖南卷文-16 解-三角恒等变换
• 2008-安徽文-17 解-三角化简值域