2004-北京春文-07 单-不等式性质命题判断

本题导读

本题考查不等式性质的命题判断。

📌【题干】

Question

已知 $a,b,c,d$ 均为实数，有下列命题： ①若 $ab>0$，$bc-ad>0$，则 $\frac{c}{a}-\frac{d}{b}>0$； ②若 $ab>0$，$\frac{c}{a}-\frac{d}{b}>0$，则 $bc-ad>0$； ③若 $bc-ad>0$，$\frac{c}{a}-\frac{d}{b}>0$，则 $ab>0$． 其中正确命题的个数是（　　） A. $0$　B. $1$ C. $2$　D. $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记 $Q=\frac{c}{a}-\frac{d}{b}=\frac{bc-ad}{ab}$。
2. ①由 $ab>0,bc-ad>0$ 得 $Q>0$。
3. ②③由 $Q$ 与 $ab$、$bc-ad$ 的符号关系同理成立。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因式中出现 $\frac{c}{a}$、$\frac{d}{b}$，故 $a\ne 0,b\ne 0$．记 $Q=\frac{c}{a}-\frac{d}{b}=\frac{bc-ad}{ab}$．①若 $ab>0$ 且 $bc-ad>0$，则 $Q>0$，正确；②若 $ab>0$ 且 $Q>0$，则 $bc-ad=ab\cdot Q>0$，正确；③若 $bc-ad>0$ 且 $Q>0$，则 $ab=\frac{bc-ad}{Q}>0$，正确．故三个命题都正确，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不等式性质命题判断

核心方法：记 $Q=\frac{c}{a}-\frac{d}{b}=\frac{bc-ad}{ab}$；①$ab>0,bc-ad>0\Rightarrow Q>0$；②$ab>0,Q>0\Rightarrow bc-ad=abQ>0$；③$bc-ad>0,Q>0\Rightarrow ab=\frac{bc-ad}{Q}>0$，三者均真

避坑指南：关键恒等式 $Q=\frac{bc-ad}{ab}$；三个命题互为等价变形，均正确（注意 $a,b\ne 0$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于不等式性质与分式运算，教材”不等式”

结论推广：一般化：$Q=\frac{c}{a}-\frac{d}{b}=\frac{bc-ad}{ab}$，三个方向可互推

方法推广：引入 $Q=\frac{bc-ad}{ab}$ 把三命题统一为等价变形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-04 单-不等式性质判断
• 2012-四川卷文-16 填-不等式真命题判断
• 2013-北京卷文-02 单-不等式性质

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