2004-北京春文-04 单-圆锥母线与底面夹角

本题导读

本题考查圆锥的侧面积与母线和底面的夹角。

📌【题干】

Question

一个圆锥的侧面积是其底面积的 $2$ 倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（　　） A. $30^{\circ }$　B. $45^{\circ }$ C. $60^{\circ }$　D. $75^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 侧面积 $\pi rl=2\pi r^2$，得 $l=2r$。
2. 轴截面中母线与底面夹角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{r}{l}$。
3. $\cos \theta =\frac{1}{2}$，$\theta =60^{\circ }$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设圆锥底面半径为 $r$、母线长为 $l$．由侧面积是底面积的 $2$ 倍，得 $\pi rl=2\pi r^2$，故 $l=2r$．设母线与底面所成的角为 $\theta$，在轴截面的直角三角形中，母线在底面上的投影长为 $r$，因此 $\cos \theta =\frac{r}{l}=\frac{1}{2}$．因 $0<\theta <90^{\circ }$，得 $\theta =60^{\circ }$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥母线与底面夹角

核心方法：侧面积 $\pi rl=2\pi r^2$ 得 $l=2r$；轴截面中 $\cos \theta =\frac{r}{l}=\frac{1}{2}$，母线与底面夹角 $\theta =60^{\circ }$

避坑指南：侧面积是底面积 2 倍推 $l=2r$；$\cos \theta =\frac{r}{l}=\frac{1}{2}$ 得 $60^{\circ }$（母线在底面的投影长 $r$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆锥的侧面积与母线夹角，教材”空间几何体”

结论推广：一般化：侧面积 $\pi rl$、底面积 $\pi r^2$，母线投影为底面半径 $r$

方法推广：由侧面积关系定 $l$ 与 $r$，再用 $\cos \theta =\frac{r}{l}$ 求夹角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-07 填-圆锥侧面积
• 2014-上海卷理-06 填-圆锥的侧面积与底面积

专题合集 (Series)