2004-北京卷文-19 解-绝对值不等式与行程

本题导读

本题考查绝对值不等式与行程问题。核心在于把运行误差化为绝对值，换元后分段去绝对值判断是否有解。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 某段城铁线路上依次有 $A,B,C$ 三站，$AB=15$ km，$BC=3$ km，在列车运行时刻表上，规定列车 $8$ 时整从 $A$ 站发车，$8$ 时 $07$ 分到达 $B$ 站并停车 $1$ 分钟，$8$ 时 $12$ 分到达 $C$ 站，在实际运行中，假设列车从 $A$ 站正点发车，在 $B$ 站停留 $1$ 分钟，并在行驶时以同一速度 $v$ km/h 匀速行驶，列车从 $A$ 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.

(1) 分别写出列车在 $B,C$ 两站的运行误差；

(2) 若要求列车在 $B,C$ 两站的运行误差之和不超过 $2$ 分钟，求 $v$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $B$ 站误差 $e_B=\left|\frac{900}{v}-7\right|$。
2. $C$ 站含停留，$e_C=\left|\frac{1080}{v}-11\right|$。
3. 换元 $t=\frac{180}{v}$，分段去绝对值判断。

✅【答案】

Success

(1) $e_B=\left|\frac{900}{v}-7\right|$，$e_C=\left|\frac{1080}{v}-11\right|$

(2) $\varnothing$

✍【详细解析】

Abstract

（1）列车从 $A$ 到 $B$ 的实际运行时间为 $\frac{15}{v}$ 小时，即 $\frac{900}{v}$ 分钟，故 $e_B=\left|\frac{900}{v}-7\right|$.列车从 $A$ 到 $C$ 的实际行驶时间为 $\frac{18}{v}$ 小时（$\frac{1080}{v}$ 分钟），另加在 $B$ 站停留的 $1$ 分钟，实际到达 $C$ 站距 $8$ 时为 $\frac{1080}{v}+1$ 分钟，故 $e_C=\left|\frac{1080}{v}+1-12\right|=\left|\frac{1080}{v}-11\right|$. （2）令 $t=\frac{180}{v}>0$，则 $e_B+e_C⩽2$ 等价于 $|5t-7|+|6t-11|⩽2$.分三段讨论：当 $0<t⩽\frac{7}{5}$ 时，左端 $=18-11t⩾\frac{13}{5}>2$；当 $\frac{7}{5}⩽t⩽\frac{11}{6}$ 时，左端 $=4-t⩾\frac{13}{6}>2$；当 $t⩾\frac{11}{6}$ 时，左端 $=11t-18⩾\frac{13}{6}>2$.故对任意 $t>0$ 均有 $|5t-7|+|6t-11|>2$，不存在满足条件的正数 $v$，故 $v$ 的取值范围为 $\varnothing$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式与行程
2. 核心方法：（1）$e_B=\left|\frac{900}{v}-7\right|$，$e_C=\left|\frac{1080}{v}-11\right|$；（2）令 $t=\frac{180}{v}>0$，条件化为 $|5t-7|+|6t-11|⩽2$；分三段讨论均得左端 $>2$，故无解，$v$ 取值范围 $\varnothing$
3. 避坑指南：$AB=15$ km 对应 $\frac{15}{v}$ h$=\frac{900}{v}$ 分；$C$ 站含 $B$ 站停留 $1$ 分，故 $\frac{1080}{v}+1$；三段去绝对值后最小仍 $>2$，结论为空集

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于绝对值不等式与行程，教材”不等式”
2. 结论推广: 一般化：运行误差为实际与时刻表之差的绝对值，求和化分段绝对值不等式；换元 $t=\frac{180}{v}$，分段去绝对值求最小值，判断是否有解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-09 单-绝对值不等式解集
• 2007-新课标Ⅰ文-24 解-绝对值不等式与分段函数最值
• 2010-新课标Ⅰ文-24 解-绝对值不等式