2004-北京卷文-13 填-等比数列与二次函数最值

本题导读

本题考查等比数列与二次函数的最值。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 在函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 中，若 $a,b,c$ 成等比数列且 $f(0)=-4$，则 $f(x)$ 有最 $\underline{}$值（填”大”或”小”），且该值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(0)=c=-4$。
2. $b^2=ac$ 且 $c<0$，故 $a<0$，开口向下。
3. 最大值 $c-\frac{b^2}{4a}$。

✅【答案】

Success

大，$-3$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(0)=c=-4$.又 $a,b,c$ 成等比数列，$b^2=ac$，且 $c=-4<0$，故 $a<0$（否则 $ac=b^2⩾0$ 与 $c<0$ 矛盾，须 $a$ 与 $c$ 同号，故 $a<0$）．因此抛物线开口向下，$f(x)$ 有最大值。最大值为 $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=c-\frac{b^2}{4a}=-4-\frac{ac}{4a}=-4-\frac{c}{4}=-4+1=-3$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列与二次函数最值
2. 核心方法：$a,b,c$ 成等比 $\Rightarrow b^2=ac$；$f(0)=c=-4$；$ac<0$ 且 $a$ 与 $c$ 同号负（因 $b^2>0$ 推 $a,c$ 同号，$c=-4<0$ 故 $a<0$），$f$ 开口向下有最大值；$f(x)=a{x}^2+bx-4$，$b^2=-4a$，顶点值 $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=c-\frac{b^2}{4a}=-4+1=-3$
3. 避坑指南：$f(0)=c=-4$；$b^2=ac$ 且 $c<0\Rightarrow a<0$，开口向下取最大；最大值 $c-\frac{b^2}{4a}=-4+1=-3$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等比数列与二次函数，教材”等比数列”与”二次函数”
2. 结论推广: 一般化：$a,c$ 同号时二次函数开口方向由 $a$ 定，顶点值 $c-\frac{b^2}{4a}$；$b^2=ac$ 且 $c<0$ 推 $a<0$ 开口向下；最值 $c-\frac{b^2}{4a}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2005-湖南卷文-10 单-二次函数销售利润最值
• 2005-重庆卷文-09 单-椭圆上动点二次函数最值
• 2010-辽宁文-04 单-量词命题与二次函数最值