2004-全国卷IV理-10 单-球的表面积公式

本题导读

本题考查球的表面积公式，以及三角形外接圆半径的求法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 已知球的表面积为 $20\pi$，球面上具有 $A、B、C$ 三点. 如果 $AB=AC=2$, $BC=2\sqrt{3}$，则球心到平面 $ABC$ 的距离为 ()

A. 1　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求球的半径 $R$：利用球的表面积公式 $S=4\pi R^2=20\pi$，直接反求出球半径的平方 $R^2$。
2. 求截面圆的半径 $r$：平面 $ABC$ 截球所得的截面是一个圆，该圆即为 $△ABC$ 的外接圆。通过 $△ABC$ 的三边长，利用余弦定理求出 $\angle BAC$ 的余弦值与正弦值，再根据正弦定理 $2r=\frac{BC}{\sin \angle BAC}$ 算得小圆半径 $r$。
3. 利用空间勾股定理求距离 $d$：设球心为 $O$，平面 $ABC$ 的外接圆圆心为 $O^{\prime }$。则 $O{O}^{\prime }\perp \text{平面 }ABC$，且对于面上任意一点（如 $A$）， $△O{O}^{\prime }A$ 是以 $OA$ 为斜边的直角三角形。利用 $O{O}^{\prime }=\sqrt{O{A}^2-O^{\prime }{A}^2}=\sqrt{R^2-r^2}$ 求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算球的半径 $R$ 设球的半径为 $R$，由球的表面积公式得： $S=4\pi R^2=20\pi ⟹R^2=5$

• 第二步：计算 $△ABC$ 外接圆的半径 $r$ 在 $△ABC$ 中， $AB=AC=2$, $BC=2\sqrt{3}$。 由余弦定理，计算顶角 $\angle BAC$ 的余弦值： $\cos \angle BAC=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{2^2+2^2-(2\sqrt{3}{)}^2}{2\times 2\times 2}=\frac{4+4-12}{8}=-\frac{4}{8}=-\frac{1}{2}$ 因为 $\angle BAC\in (0,\pi )$，所以： $\sin \angle BAC=\sqrt{1-{\cos }^2\angle BAC}=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 设 $△ABC$ 的外接圆半径为 $r$，由正弦定理得： $2r=\frac{BC}{\sin \angle BAC}⟹2r=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4⟹r=2⟹r^2=4$

• 第三步：计算球心到平面 $ABC$ 的距离 $d$ 设球心为 $O$，平面 $ABC$ 的外接圆圆心为 $O^{\prime }$，球心到平面 $ABC$ 的距离 $d=O{O}^{\prime }$。 根据球的性质， $O{O}^{\prime }\perp \text{平面 }ABC$，则 $△O{O}^{\prime }A$ 为直角三角形，其中斜边 $OA=R$，直角边 $O^{\prime }A=r$。 由勾股定理得： $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5-4}=\sqrt{1}=1$

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：立体几何中球的性质方程 $R^2=r^2+d^2$、正弦定理在求解三角形外接圆半径中的应用。
2. 核心方法：空间直角三角形转化法。
3. 避坑指南：
   • 求外接圆半径时注意正弦定理中是 $2r$ 而非 $r$。部分同学公式记忆不牢，错把 $\frac{BC}{\sin \angle BAC}$ 算成了 $r$，导致得到 $r=4$，代入勾股定理会发现 $5-16<0$ 的荒谬结论。
   • 计算 $\cos \angle BAC=-\frac{1}{2}$ 时说明该底面三角形为钝角三角形，外接圆圆心其实落在三角形外部，但这并不影响空间直角三角形 $R^2=r^2+d^2$ 关系的成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自经典立体几何截面性质，属于“球的组合体与多面体外接”板块的常考基础题。
2. 结论推广: 一般地，若一个多面体外接于半径为 $R$ 的球，则其任意一个面所在的多边形的外接圆半径 $r$ 与球心到该面的距离 $d$ 均雷打不动地服从圆锥截面方程： $d=\sqrt{R^2-r^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1980-全国文-03 解-直径所对圆周角的证明