2004-全国卷IV理-09 单-排列组合与计数原理

本题导读

本题考查排列组合与计数原理，以及分类计数原理。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任 (每班 1 位班主任)，要求这 3 位班主任中男、女教师都有，则不同的选派方案共有 ()

A. 210 种　　　　B. 420 种　　　　C. 630 种　　　　D. 840 种

🔍【思路分析】

破题导航

1. 策略一（直接分类法）：选出的 3 位教师中必须男女都有，其人员构成的组合情况只有两种：
   • 情况一：2 名男教师，1 名女教师。
   • 情况二：1 名男教师，2 名女教师。 分别利用组合数 $C_n^m$ 选出人选，再乘以全排列数 $A_3^3$ 分配到 3 个班级中。
2. 策略二（间接排除法）：先不考虑男女限制，计算从 9 人中任选 3 人派往 3 个班的总方案数（即 $A_9^3$）。然后从中扣除不符合题意的特殊排法：全部选男教师（$A_5^3$）以及全部选女教师（$A_4^3$）。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

选择**策略一（直接分类法）**进行求解：

解决此类既有组合（选人）又有排列（分班）的问题，标准流程为**“先选人，后分班”**：

• 第一步：对入选教师的性别组合进行分类选出

  • 情况一：选 2 男 1 女 从 5 位男教师中选 2 人的组合数为 $C_5^2$； 从 4 位女教师中选 1 人的组合数为 $C_4^1$。 根据分步计数原理，此种人员组合方案数为： $N_1=C_5^2\times C_4^1=\frac{5\times 4}{2\times 1}\times 4=10\times 4=40\text{ 种}$

  • 情况二：选 1 男 2 女 从 5 位男教师中选 1 人的组合数为 $C_5^1$； 从 4 位女教师中选 2 人的组合数为 $C_4^2$。 根据分步计数原理，此种人员组合方案数为： $N_2=C_5^1\times C_4^2=5\times \frac{4\times 3}{2\times 1}=5\times 6=30\text{ 种}$

  综合上述两种互斥情况，由分类计数原理（加法原理），满足条件的纯选人组合方案总数为： $N_{\text{选人}}=N_1+N_2=40+30=70\text{ 种}$

• 第二步：将选出的 3 人全排列分派到 3 个班级中 将这 3 位确定的人选派往 3 个班担任班主任，属于 3 个相异元素的全排列： $N_{\text{分班}}=A_3^3=3\times 2\times 1=6\text{ 种}$

• 第三步：计算最终总选派方案数 根据分步计数原理（乘法原理），将两个阶段的方案数相乘： $\text{总方案数}=N_{\text{选人}}\times N_{\text{分班}}=70\times 6=420\text{ 种}$

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分类加法与分步乘法计数原理、合理拆分“选”与“排”的两个物理阶段。
2. 核心方法：先组合后排列法、正面分类穷举法。
3. 避坑指南：
   • 切勿混淆组合与排列的阶段先后。部分同学容易错写成 $C_5^2\cdot A_3^2\dots$ 等混杂算式，极易导致重复计数或漏算。牢记“选人（用 $C$）只管挑出人，分班（用 $A$ 或乘以阶乘）负责定去向”，两段剥离最清晰。
   • 在使用间接排除法时注意不要漏减。如果选择用全集减去不合题意的情况，必须同时减去“全男”和“全女”两种不合要求的极端排法，算式为 $A_9^3-A_5^3-A_4^3=504-60-24=420$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考试卷中关于有限元素约束性分配的基础应用题。
2. 结论推广: 一般地，从 $M$ 个 $A$ 类元素与 $N$ 个 $B$ 类元素中随机选出 $k$ 个元素进行全排列分配（要求两类元素均有涉及），其通项公式可以表达为间接法形式： $A_{M+N}^k-A_M^k-A_N^k$（其中当 $M,N<k$ 时对应的排列数记为 0）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 1981-全国文-03 解-排列与组合的计数
• 1985-全国文-05 单-排列计数（五位数）
• 1985-广东文-20 单-受限排列计数