2005-湖北卷文-09 单-电影票的分组分配

本题导读

本题考查排列组合中的分组分配问题，以及”连续编号”约束的处理。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 把一排 6 张座位编号为 1，2，3，4，5，6 的电影票全部分给 4 个人，每人至少分 1 张，至多分 2 张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是()

A. $168$　　　　　　B. $96$　　　　　　C. $72$　　　　　　D. $144$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 6 张票 4 人，恰 2 人各 2 张。
2. 从 $(1,2),\cdots ,(5,6)$ 中选 2 个不共用票号的对：${\mathrm{C}}_5^2-4=6$。
3. 分人：${\mathrm{C}}_4^2\cdot 2!\cdot 2!=24$，乘积 $144$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由于共有 6 张票和 4 个人，且每人至少得到 1 张、至多得到 2 张，所以恰有两个人各得到 2 张票，另外两个人各得到 1 张票．两张票必须连续，等价于从相邻编号对 $(1,2)$，$(2,3)$，$(3,4)$，$(4,5)$，$(5,6)$ 中选出两个不共用票号的编号对，共有 ${\mathrm{C}}_5^2-4=6$ 种选法，其中减去的 4 种是两个编号对相邻而共用一张票的情形．对每一种票号分组，先从四个人中选出得到两张票的两个人，再把两个连续编号对分给他们，最后把两张单票分给其余两个人，共有 ${\mathrm{C}}_4^2\cdot 2!\cdot 2!=24$ 种分法．因此总数为 $6\times 24=144$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：电影票的分组分配

核心方法：相邻对 ${\mathrm{C}}_5^2-4=6$ 种 $\times$ 分人 ${\mathrm{C}}_4^2\cdot 2!\cdot 2!=24$

避坑指南：两张连续编号不能共用票号（相邻对组合舍去 4 种）；先分组后分人，两步各自独立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 2-3 计数原理

结论推广：相邻编号对 ${\mathrm{C}}_5^2-4=6$；分人 ${\mathrm{C}}_4^2\cdot 2!\cdot 2!=24$；总数 $144$

方法推广：连续编号分配先选”编号对”（排除共票），再做人的排列——分堆与分人分开算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV理-09 单-排列组合与计数原理
• 1991-全国卷理-09 单-组合计数
• 2020-新课标I文-04 单-排列组合