2004-全国卷IV文-13 填-二项式特定项系数

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及特定项系数的计算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） ${\left(x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^8$ 展开式中 $x^5$ 的系数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 通项 ${\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-\frac{3k}{2}}$。
2. 令 $8-\frac{3k}{2}=5$，得 $k=2$。
3. 系数 ${\mathrm{C}}_8^2=28$。

✅【答案】

Success

$28$

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-\frac{3k}{2}}$.令 $8-\frac{3k}{2}=5$，得 $k=2$.故 $x^5$ 的系数为 $(-1{)}^2{\mathrm{C}}_8^2=28$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式特定项系数
2. 核心方法：通项 ${\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-\frac{3k}{2}}$；令 $8-\frac{3k}{2}=5$ 得 $k=2$；系数 ${\mathrm{C}}_8^2=28$
3. 避坑指南：指数 $8-\frac{3k}{2}=5\Rightarrow k=2$；系数 $(-1{)}^2{\mathrm{C}}_8^2=28$ 为正

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理，教材”二项式定理”指定项
2. 结论推广: 一般化：$(x-x^{-1/2}{)}^n$ 通项指数 $n-k-\frac{k}{2}$，令等于目标次数；合并 $x$ 指数令等于 $5$，解 $k$ 再算系数

🔗【关联脉络】

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