2004-全国卷IV文-12 单-解三角形求边长

本题导读

本题考查解三角形，以及等差关系、面积与余弦定理的综合。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） $△ABC$ 中，$a$、$b$、$c$ 分别为 $\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 的对边.如果 $a$、$b$、$c$ 成等差数列，$\angle B=30^{\circ }$，$△ABC$ 的面积为 $\frac{3}{2}$，那么 $b=$()

A. $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $1+\sqrt{3}$　　　　　　C. $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$　　　　　　D. $2+\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a+c=2b$；面积 $\frac{1}{2}ac\sin 30^{\circ }=\frac{ac}{4}=\frac{3}{2}$，$ac=6$。
2. 余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos 30^{\circ }$。
3. 把 $a^2+c^2=(a+c{)}^2-2ac$ 代入解 $b$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $a,b,c$ 成等差得 $a+c=2b$；由面积 $\frac{1}{2}ac\sin 30^{\circ }=\frac{ac}{4}=\frac{3}{2}$ 得 $ac=6$.余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos 30^{\circ }=a^2+c^2-\sqrt{3}ac=(a+c{)}^2-(2+\sqrt{3})ac=4b^2-(2+\sqrt{3})\times 6$，即 $3b^2=12+6\sqrt{3}$，$b^2=4+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3}{)}^2$，故 $b=1+\sqrt{3}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解三角形求边长
2. 核心方法：$a+c=2b$，$S=\frac{1}{2}ac\sin 30^{\circ }=\frac{ac}{4}=\frac{3}{2}\Rightarrow ac=6$；$b^2=a^2+c^2-2ac\cos 30^{\circ }=a^2+c^2-\sqrt{3}ac=(a+c{)}^2-(2+\sqrt{3})ac=4b^2-(12+6\sqrt{3})$，$b=1+\sqrt{3}$
3. 避坑指南：等差 $\Rightarrow a+c=2b$；面积给 $ac=6$；余弦定理把 $a^2+c^2$ 换成 $(a+c{)}^2-2ac$ 解 $b$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于解三角形，教材”余弦定理”
2. 结论推广: 一般化：三边成等差 + 面积 + 一角，联立余弦定理与面积公式解边；$a+c=2b$ 与 $ac$ 已知，代入 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 消元

🔗【关联脉络】

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• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-10 填-余弦定理解三角形
• 2007-大纲Ⅰ文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2008-辽宁文-17 解-正余弦定理解三角形