2004-全国卷III理-18 解-指数方程的解法

本题导读

本题考查指数方程的解法。核心在于分类讨论法、换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 解方程： $4^x+|1-2^x|=11$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数与换元：注意到 $4^x=(2^x{)}^2$，方程中含有 $2^x$ 及其平方项，优先引入换元法。令 $t=2^x$，根据指数函数的性质，隐含限制条件 $t>0$。原方程可转化为关于 $t$ 的代数方程： $t^2+|1-t|=11$。
2. 分类讨论去绝对值：根据绝对值内表达式 $1-t$ 的零点 $t=1$ 进行分段讨论。
   • 当 $0<t<1$ 时， $1-t>0$， $|1-t|=1-t$；
   • 当 $t⩾1$ 时， $1-t⩽0$， $|1-t|=t-1$。
3. 求解与检验：在各个对应区间内独立解出一元二次方程的根，严格检验求出的根是否落在讨论的区间内且满足 $t>0$，最后由 $2^x=t$ 求出未知数 $x$。

✅【答案】

Success

$x={\log }_{2}3$

✍【详细解析】

Abstract

解： 令 $t=2^x$，由于指数函数的值域特征，必有 $t>0$． 将 $4^x=(2^x{)}^2=t^2$ 代入原方程，得关于 $t$ 的方程： $t^2+|1-t|=11$

针对绝对值符号内的代数式进行分类讨论：

• 情况一：当 $1-t>0$ 即 $0<t<1$ 时 此时 $|1-t|=1-t$，原方程化为： $t^2+1-t=11⟹t^2-t-10=0$ 解此一元二次方程，由求根公式得： $t=\frac{1\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\times 1\times (-10)}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{41}}{2}$ 由于 $\sqrt{41}>6$，故： $t_1=\frac{1+\sqrt{41}}{2}>\frac{1+6}{2}=3.5\text{（不满足 }0<t<1\text{，舍去）}$ $t_2=\frac{1-\sqrt{41}}{2}<\frac{1-6}{2}=-2.5\text{（不满足 }0<t<1\text{，舍去）}$ 所以在 $0<t<1$ 区间内方程无实数解。

• 情况二：当 $1-t⩽0$ 即 $t⩾1$ 时 此时 $|1-t|=-(1-t)=t-1$，原方程化为： $t^2+t-1=11⟹t^2+t-12=0$ 对此二次三项式进行因式分解： $(t+4)(t-3)=0$ 解得： $t_3=-4,t_4=3$ 将解回代到前提条件 $t⩾1$ 中检验：

  • $t=-4$ 不满足 $t⩾1$，舍去；
  • $t=3$ 满足 $t⩾1$，故 $t=3$ 为该方程的唯一有效实数解。

由换元关系 $t=2^x$，代入有效解： $2^x=3$ 两边取以 2 为底的对数，解得： $x={\log }_{2}3$

综上所述，原方程的解为 $x={\log }_{2}3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数方程的代数结构转化、零点分段讨论法清除绝对值、一元二次方程的区间根迹检验。
2. 核心方法：换元法、分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 换元后绝对不能漏掉指数新变量的定义域范围 $t>0$。在解出 $t=-4$ 时，应立即通过 $t>0$ 或 $t⩾1$ 的约束将其排除。
   • 分段讨论完求出具体的二次方程根后，必须将根代回当前讨论的子区间内进行核对。例如在情况一中求出的 $\frac{1+\sqrt{41}}{2}$ 虽为正数，但因为它大于 1，超出了当前讨论的边界 $t<1$，必须予以舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典代数方程板块中关于换元降次与绝对值逻辑交汇的常规大题。
2. 结论推广: 求解形如 $a^{2x}+|k-a^x|=m$ 的方程，标准操作图形永远为：设 $t=a^x(t>0)\to$ 围绕零点 $t=k$ 拆分区间 $\to$ 求解多项式方程 $\to$ 区间边界双重过滤。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1958-四川-06 解-换元解指数方程
• 2005-上海卷文-02 填-指数方程
• 2013-上海卷理-06 填-指数方程解法