2005-上海卷文-02 填-指数方程

本题导读

本题考查指数方程的解法。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 方程 $4^x+2^x-2=0$ 的解是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=2^x>0$，方程化为 $t^2+t-2=0$。
2. 解得 $t=1$（$t=-2$ 舍），故 $x=0$。

✅【答案】

Success

$x=0$

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=2^x>0$，则 $4^x=t^2$，原方程化为 $t^2+t-2=0$，解得 $t=1$ 或 $t=-2$（舍）． 由 $2^x=1$ 得 $x=0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程

核心方法：换元：令 $t=2^x$，$4^x+2^x-2=0$ 化为 $t^2+t-2=0$

避坑指南：换元后须检验 $t>0$，舍负根是标配动作

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数方程换元是必修一幂指对章节基本方法

结论推广：形如 $a^{2x}+a^x+c=0$ 均可换元 $t=a^x$ 化二次

方法推广：换元后新元范围（$t>0$）决定根的取舍

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III文-17 解-等比数列