2004-全国卷III文-19 解-等差通项由和关系

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和。核心在于由和的关系反解首项与公差。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 是公差不为零的等差数列，$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_1^2=9S_2$，$S_4=4S_2$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $a_1=a$、公差 $d\ne 0$，则 $S_1=a$、$S_2=2a+d$、$S_4=4a+6d$。
2. 由 $S_4=4S_2$ 得 $d=2a$。
3. 由 $S_1^2=9S_2$ 得 $a^2=9(2a+d)=36a$，$a=36$、$d=72$。

✅【答案】

Success

$a_n=72n-36$

✍【详细解析】

Abstract

设 $a_1=a$、公差为 $d$（$d\ne 0$），则 $S_1=a$，$S_2=2a+d$，$S_4=4a+6d$.由 $S_4=4S_2$ 得 $4a+6d=4(2a+d)$，故 $d=2a$，因 $d\ne 0$ 得 $a\ne 0$.再由 $S_1^2=9S_2$ 得 $a^2=9(2a+d)=9(2a+2a)=36a$，解得 $a=36$，于是 $d=72$.故 $a_n=a+(n-1)d=36+72(n-1)=72n-36$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差通项由和关系
2. 核心方法：$S_1=a$，$S_2=2a+d$，$S_4=4a+6d$；由 $S_4=4S_2$ 得 $d=2a$；由 $S_1^2=9S_2$ 得 $a^2=9(2a+d)=36a$，$a=36$，$d=72$；$a_n=72n-36$
3. 避坑指南：$S_1^2$ 是”前 1 项和的平方”（即 $a_1^2$），别当 $S_{12}$ 或 $S_2$ 的平方；$d\ne 0$ 保证 $a\ne 0$ 可约

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等差数列前 $n$ 项和，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：由 $S_n$ 的若干关系反解 $a_1,d$；$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 代入已知关系，解 $a_1,d$ 方程组

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-17 解-等差数列通项与和
• 2006-重庆文-14 填-等差数列通项
• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比