2004-全国卷III文-17 解-指数方程换元

本题导读

本题考查指数方程的解法。核心在于换元把指数方程化归为二次方程。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 解方程：$4^x-2^{x+2}-12=0$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=2^x$（$t>0$），则 $4^x=t^2$，$2^{x+2}=4t$。
2. 原方程化为 $t^2-4t-12=0$。
3. 解出 $t=6$（$t=-2$ 舍），$x={\log }_{2}6$。

✅【答案】

Success

$x={\log }_{2}6$

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=2^x$，则 $t>0$，且 $4^x=t^2$，$2^{x+2}=4\cdot 2^x=4t$.原方程化为 $t^2-4t-12=0$，即 $(t-6)(t+2)=0$，故 $t=6$ 或 $t=-2$.因 $t>0$，舍去 $t=-2$，得 $2^x=6$，所以 $x={\log }_{2}6$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数方程换元
2. 核心方法：$4^x-2^{x+2}-12=0$，令 $t=2^x>0$：$t^2-4t-12=0$，$t=6$（$t=-2$ 舍）；$x={\log }_{2}6$
3. 避坑指南：$2^{x+2}=4\cdot 2^x$；换元后 $t>0$ 舍负根——别忘 $2^x>0$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于指数方程，教材”指数函数”
2. 结论推广: 一般化：$a^{2x}-m{a}^x-b=0$ 令 $t=a^x>0$ 化二次方程；换元后保留 $t>0$，舍负根再取对数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-06 填-指数方程与换元法
• 2005-上海卷文-02 填-指数方程
• 2007-上海卷文-01 填-指数方程求解