2004-全国卷III文-04 单-等比数列前n项和

本题导读

本题考查等比数列的通项与前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=9$，$a_5=243$，则 $\{a_n\}$ 的前 $4$ 项和为()

A. $81$　　　　　　B. $120$　　　　　　C. $168$　　　　　　D. $192$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公比 $q^3=\frac{a_5}{a_2}=\frac{243}{9}=27$，$q=3$。
2. $a_1=\frac{a_2}{q}=3$。
3. 前 4 项和 $3+9+27+81=120$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

公比满足 $q^3=\frac{a_5}{a_2}=\frac{243}{9}=27$，故 $q=3$，$a_1=\frac{a_2}{q}=3$.前 $4$ 项和为 $3+9+27+81=120$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列前n项和
2. 核心方法：$a_2=9$，$a_5=243$，公比 $q^3=\frac{243}{9}=27$，$q=3$，$a_1=3$；前 4 项和 $3+9+27+81=120$
3. 避坑指南：$q^3=\frac{a_5}{a_2}=27$ 得 $q=3$；首项 $a_1=\frac{a_2}{q}=3$——别把 $a_1$ 当 $9$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等比数列，教材”等比数列”基本量
2. 结论推广: 一般化：由 $a_m,a_n$ 定公比 $q^{n-m}=\frac{a_n}{a_m}$；先定公比再回首项，逐项求前 $n$ 项和或套公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-湖南文-04 单-等比数列前十项和
• 2012-重庆卷文-11 填-等比数列前n项和
• 2013-新课标Ⅰ文-06 单-等比数列前n项和