2004-全国卷III文-03 单-反函数求值

本题导读

本题考查反函数的概念，以及反函数值的求法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 记函数 $y=1+3^{-x}$ 的反函数为 $y=g(x)$，则 $g(10)=$()

A. $2$　　　　　　　B. $-2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $g(10)$ 是使 $f(x)=10$ 的 $x$。
2. 由 $10=1+3^{-x}$ 得 $3^{-x}=9$，$x=-2$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$g(10)$ 是使 $f(x)=10$ 的 $x$，即解 $1+3^{-x}=10$，得 $3^{-x}=9=3^2$，故 $-x=2$，$x=-2$，即 $g(10)=-2$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数求值
2. 核心方法：$y=1+3^{-x}$ 反函数：由 $10=1+3^{-x}$ 反解 $x=-2$，即 $g(10)=-2$
3. 避坑指南：$g(10)$ 是反函数在 $10$ 处的值=原函数自变量使 $f(x)=10$ 的 $x$；先求反函数再代，或直接令 $f(x)=10$ 解 $x$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数概念，教材”反函数”
2. 结论推广: 一般化：$g(y_0)$ 即解方程 $f(x)=y_0$ 的 $x$；求反函数值可直接解原函数方程，不必先写反函数解析式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2006-江西文-14 填-反函数求值
• 2009-大纲Ⅰ文-06 单-反函数求值
• 2004-全国卷II文-02 单-分式函数反函数