2004-全国卷II理-19 解-数列的递推关系

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于构造法、关系式代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_n$，已知 $a_1=1$， $a_{n+1}=\frac{n+2}{n}{S}_n(n=1,2,3,\dots )$.证明：

(1) 数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 是等比数列；

(2) $S_{n+1}=4a_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问消元思路：已知递推式中同时含有 $a_{n+1}$ 和 $S_n$，利用核心性质 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 进行代换，从而将混合递推式转化为仅含 $S_n$ 的递推方程。
2. 构造等比形式：通过因式分解与通分，将 $S_{n+1}$ 与 $S_n$ 的代数式分离，构造出目标项 $\frac{S_{n+1}}{n+1}$ 与 $\frac{S_n}{n}$ 的比值形式，求出公比并验证首项。
3. 第(2)问计算思路：利用第(1)问已证的等比数列，写出 $\frac{S_n}{n}$ 的通项公式，进而求得 $S_n$ 与 $S_{n+1}$ 的具体封闭表达式。
4. 验证等式：利用 $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$ 算出 $a_n$ 的表达式（注意 $n=1$ 需单独处理），分别代入目标等式左右两侧进行全等比对。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析（首项 $1$，公比 $2$）

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 已知递推关系为： $a_{n+1}=\frac{n+2}{n}{S}_n\text{（式1）}$ 利用数列前 $n$ 项和与通项的关系，代入 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 消去 $a_{n+1}$： $S_{n+1}-S_n=\frac{n+2}{n}{S}_n\text{（式2）}$ 移项并合并同类项： $S_{n+1}=S_n+\frac{n+2}{n}{S}_n=\left(1+\frac{n+2}{n}\right)S_n$ 通分化简得： $S_{n+1}=\frac{2n+2}{n}{S}_n=\frac{2(n+1)}{n}{S}_n\text{（式3）}$ 两边同时除以 $n+1$： $\frac{S_{n+1}}{n+1}=2\cdot \frac{S_n}{n}\text{（式4）}$

因为 $a_1=1$，所以其首项 $S_1=a_1=1$。 则新数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 的首项为 $\frac{S_1}{1}=1\ne 0$。 由（式4）知，对于所有的 $n\ge 1$，后项与前项的比值满足： $\frac{\frac{S_{n+1}}{n+1}}{\frac{S_n}{n}}=2\text{（常数）}$ 所以，数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 是以 $1$ 为首项，$2$ 为公比的等比数列。

(2) 证明： 由第(1)问结论，等比数列 $\left\{\frac{S_n}{n}\right\}$ 的通项公式为： $\frac{S_n}{n}=1\cdot 2^{n-1}⟹S_n=n\cdot 2^{n-1}\text{（式5）}$ 由此可得： $S_{n+1}=(n+1)\cdot 2^n\text{（式6）}$

下面计算 $4a_n$ 的解析式。

• 当 $n\ge 2$ 时，利用通项与前 $n$ 项和的关系 $a_n=S_n-S_{n-1}$，代入（式5）： $a_n=n\cdot 2^{n-1}-(n-1)\cdot 2^{n-2}$ 提取公因式 $2^{n-2}$： $a_n=[2n-(n-1)]\cdot 2^{n-2}=(n+1)\cdot 2^{n-2}\text{（式7）}$ 则有： $4a_n=4\cdot (n+1)\cdot 2^{n-2}=2^2\cdot (n+1)\cdot 2^{n-2}=(n+1)\cdot 2^n\text{（式8）}$ 比对（式6）与（式8）可知，当 $n\ge 2$ 时，$S_{n+1}=4a_n$ 严格成立。

• 当 $n=1$ 时，进行独立边界条件验证： 左边 $S_2=(1+1)\cdot 2^1=4$。 右边 $4a_1=4\times 1=4$。 左右两边全等，故 $n=1$ 时命题亦成立。

综上所述，对任意 $n=1,2,3,\dots$，均有 $S_{n+1}=4a_n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：利用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 实现递推关系式由“杂”到“纯”的化归；证明等比数列的标准流程；利用等比通项反求原数列。
2. 核心方法：变量构造法。
3. 避坑指南：
   • 在第(1)问证明等比数列时，切勿漏掉对首项 $\frac{S_1}{1}\ne 0$ 的非零性声明，在规范的高考大题阅卷中，未申明首项非零会导致步骤扣分。
   • 在第(2)问利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 求解通项时，必须无条件注明定义域限制 $n\ge 2$。算出结果后，必须将 $n=1$ 代入所得公式进行回检，若公式与实际 $a_1$ 不符需写成分段函数形式。本题虽然回检合规，但两段式讨论的严谨逻辑不可省略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 数列前 $n$ 项和 $S_n$ 与通项 $a_n$ 的关系，考查由递推式证明等比数列。
2. 结论推广: 对 $a_{n+1}=f(n)S_n$ 型递推，利用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 消去 $a_{n+1}$，化为只含 $S_n$ 的递推式；若能化为 $\frac{S_{n+1}}{n+1}$ 与 $\frac{S_n}{n}$ 的等比关系，即可求通项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-17 解-Sn递推求通项与等差
• 2006-陕西文-20 解-Sn递推求通项
• 1986-广东理-38 解-数列与数学归纳法