2004-全国卷II理-10 单-导数运算法则

本题导读

本题考查导数运算法则，以及利用导数研究函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 函数 $y=x\cos x-\sin x$ 在下面哪个区间内是增函数 ()

A. $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$　　　　B. $(\pi ,2\pi )$　　　　C. $\left(\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right)$　　　　D. $(2\pi ,3\pi )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对函数 $y$ 求导，得到导函数 $y^{\prime }$。
2. 令 $y^{\prime }>0$，求出函数单调递增的条件。
3. 结合各选项给定的区间，判断在哪个区间内 $y^{\prime }$ 恒大于零。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $y=x\cos x-\sin x$ 求导： $y^{\prime }=(x\cos x{)}^{\prime }-(\sin x{)}^{\prime }=(1\cdot \cos x+x\cdot (-\sin x))-\cos x=-x\sin x$

要求函数在某区间内是增函数，即要求在该区间内导数 $y^{\prime }>0$。 所以有： $-x\sin x>0$

因为题目选项中的区间均为正区间（$x>0$），所以要满足 $-x\sin x>0$，必须有： $\sin x<0$

接下来，我们检查哪个选项的区间满足 $\sin x<0$：

• (A) $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$：此区间包含第二、三象限。在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 时， $\sin x>0$，不满足恒小于 0。
• (B) $(\pi ,2\pi )$：此区间为第三、四象限，在此区间内 $\sin x<0$ 恒成立。
• (C) $\left(\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right)$：此区间包含第四、一象限。在 $\left(2\pi ,\frac{5\pi }{2}\right)$ 时， $\sin x>0$，不满足恒小于 0。
• (D) $(2\pi ,3\pi )$：此区间为第一、二象限，在此区间内 $\sin x>0$ 恒成立。

综上所述，只有在区间 $(\pi ,2\pi )$ 内，满足 $x>0$ 且 $\sin x<0$，从而 $y^{\prime }=-x\sin x>0$。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数求导法则（特别是乘积求导）、导数与单调性的关系、三角函数在各象限的符号。
2. 核心方法：求导法、解不等式法。
3. 避坑指南：乘积求导法则 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 极易算错符号；判定 $\sin x<0$ 时，不要忽视前提条件 $x>0$（由选项可知）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数的运算法则与函数单调性的判定，考查求导判断增区间。
2. 结论推广: $y=x\cos x-\sin x$ 求导得 $y^{\prime }=-x\sin x$，符号由 $x$ 与 $\sin x$ 共同决定；判断含三角函数的单调区间时，应结合导数的零点与各区间内的符号逐段分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-湖南文-19 解-三次函数单调与水平切线
• 2006-重庆文-19 解-导数切线与单调性
• 1977-山西-09 解-导数运算