2004-全国卷II理-07 单-球面距离

本题导读

本题考查球面距离，以及球的截面性质。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 已知球 $O$ 的半径为 $1$，$A,B,C$ 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 $\frac{\pi }{2}$，则球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据球面距离公式 $l=\alpha R$，由球面距离 $\frac{\pi }{2}$ 和半径 $R=1$ 求出球心角 $\angle AOB,\angle BOC,\angle COA$。
2. 发现三个球心角均为 $\frac{\pi }{2}$，即半径 $OA,OB,OC$ 两两相互垂直，构成一个以 $O$ 为顶点的直角四面体 $O-ABC$。
3. 利用等体积法 $V_{O-ABC}=V_{A-OBC}$，或者直接利用射影定理关系式 $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ 求解球心到平面 $ABC$ 的距离 $h$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

已知球的半径 $R=1$。 因为 $A,B$ 两点间的球面距离为 $\frac{\pi }{2}$，由球面距离公式 $d=R\theta$（$\theta$ 为球心角），得球心角： $\angle AOB=\frac{d}{R}=\frac{\frac{\pi }{2}}{1}=\frac{\pi }{2}$ 同理可得， $\angle BOC=\frac{\pi }{2}$， $\angle COA=\frac{\pi }{2}$。

由此可知，线段 $OA,OB,OC$ 两两相互垂直。 可以把这三条线段看作是从原点出发沿着直角坐标系 $x,y,z$ 轴正方向的线段，长度均为 1。 即 $OA=1,OB=1,OC=1$。

设球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $h$。 方法一：倒数平方和公式（空间射影定理推广） 对于三个侧棱两两垂直的直角四面体 $O-ABC$，其顶点到相对底面的高 $h$ 满足： $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ 代入数据得： $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{1^2}=1+1+1=3$ 所以 $h^2=\frac{1}{3}$，解得 $h=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

方法二：等体积法 以 $△OBC$ 为底面， $OA$ 为高，四面体体积为： $V=\frac{1}{3}\cdot S_{△OBC}\cdot OA=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\right)\cdot 1=\frac{1}{6}$ 在 $△ABC$ 中，由勾股定理知 $AB=BC=CA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 $△ABC$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的正三角形，其面积为： $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 又 $V=\frac{1}{3}\cdot S_{△ABC}\cdot h$，即： $\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot h$ 解得 $h=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球面距离与球心角的关系；墙角模型（三度相互垂直）的高的求法。
2. 核心方法：等体积转换法、空间倒数勾股定理。
3. 避坑指南：切勿将“球面距离”与“两点间直线距离”混淆。球面距离必过大圆弧度。牢记直角四面体高的平方倒数和公式可在此类题型中实现秒杀。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 球面距离与球心到截面的距离，考查球的几何性质与截面圆。
2. 结论推广: 球面上两点的球面距离等于球半径与该两点所对球心角的乘积；求球心到截面（小圆）的距离，用垂径定理结合勾股定理即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-13 单-球面距离与球半径
• 2006-湖南文-04 单-球截面面积
• 2008-辽宁文-14 填-球面距离与球心距