2004-全国卷II文-21 解-三次函数区间单调求参

本题导读

本题考查导数与函数的单调性。核心在于把区间单调转化为导函数在区间内的符号恒定性。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 若函数 $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}a{x}^2+(a-1)x+1$ 在区间 $(1,4)$ 内为减函数，在区间 $(6,+\infty )$ 上为增函数，试求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=x^2-ax+a-1=(x-1)(x-a+1)$。
2. $x\in (1,4)$ 时 $x-1>0$，减函数需 $x-a+1<0$ 恒成立，即 $a⩾5$。
3. $x\in (6,+\infty )$ 时增函数需 $x-a+1>0$ 恒成立，即 $a⩽7$。

✅【答案】

Success

$a\in [5,7]$

✍【详细解析】

Abstract

求导得 $f^{\prime }(x)=x^2-ax+a-1=(x-1)(x-a+1)$.当 $x\in (1,4)$ 时 $x-1>0$，要使函数在该区间内为减函数，需 $x-a+1<0$ 对任意 $x\in (1,4)$ 成立，等价于 $a⩾5$（当 $a=5$ 时 $x-a+1=x-4<0$ 对 $1<x<4$ 成立）．当 $x\in (6,+\infty )$ 时仍有 $x-1>0$，要使函数在该区间为增函数，需 $x-a+1>0$ 对任意 $x>6$ 成立，等价于 $a⩽7$（当 $a=7$ 时 $x-a+1=x-6>0$ 对 $x>6$ 成立）．综上 $a\in [5,7]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三次函数区间单调求参
2. 核心方法：$f^{\prime }(x)=(x-1)(x-a+1)$；(1,4) 减 $\Rightarrow x-a+1<0$ 恒成立 $\Rightarrow a⩾5$；(6,+∞) 增 $\Rightarrow x-a+1>0$ 恒成立 $\Rightarrow a⩽7$；故 $a\in [5,7]$
3. 避坑指南：开口向上抛物线在 $x>1$ 的符号由大根 $a-1$ 控制——减区间要求大根 $⩾4$，增区间要求大根 $⩽6$，等号均可取

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数与单调区间，教材”导数在研究函数中的应用”
2. 结论推广: 一般化：$f^{\prime }$ 为开口向上二次式时，区间单调 $⟺$ 大根与区间的位置关系；因式分解导数后按”区间内恒正/恒负”列不等式，注意端点可否取等

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2006-天津文-20 解-导数单调极值恒成立
• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2009-大纲Ⅱ文-21 解-导数单调与恒成立