2004-全国卷II文-18 解-三角和差角与解三角形

本题导读

本题考查两角和差公式与正弦定理。核心在于由 $\sin (A+B)$、$\sin (A-B)$ 联立分离出 $\tan$ 比并求高。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 已知锐角三角形 $ABC$ 中，$\sin (A+B)=\frac{3}{5}$，$\sin (A-B)=\frac{1}{5}$.

(1) 求证：$\tan A=2\tan B$；

(2) 设 $AB=3$，求 $AB$ 边上的高.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $A+B=\pi -C$，故 $\sin (A+B)=\sin C=\frac{3}{5}$，$\cos C=\frac{4}{5}$，$\cos (A+B)=-\frac{4}{5}$。
2. 记 $X=\sin A\cos B$、$Y=\cos A\sin B$，由和差公式解出 $X=\frac{2}{5}$、$Y=\frac{1}{5}$。
3. $\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{X}{Y}=2$；高 $h=2R\sin A\sin B$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $h=2+\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因 $ABC$ 为锐角三角形，$A,B,C$ 均锐角，$A+B=\pi -C>\frac{\pi }{2}$，且 $\sin (A+B)=\sin C=\frac{3}{5}$，故 $\cos C=\frac{4}{5}$，$\cos (A+B)=-\cos C=-\frac{4}{5}$.记 $X=\sin A\cos B$，$Y=\cos A\sin B$，由和差公式得 $X+Y=\frac{3}{5}$，$X-Y=\frac{1}{5}$，故 $X=\frac{2}{5}$，$Y=\frac{1}{5}$.又 $A,B$ 为锐角，$\cos A\cos B>0$，故 $\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{\sin A\cos B}{\cos A\sin B}=\frac{X}{Y}=2$，即 $\tan A=2\tan B$. （2）由 $\sin (A-B)=\frac{1}{5}>0$ 且 $A-B\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$，得 $A>B$，$\cos (A-B)=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.故 $\sin A\sin B=\frac{\cos (A-B)-\cos (A+B)}{2}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}+\frac{4}{5}}{2}=\frac{\sqrt{6}+2}{5}$.设外接圆半径为 $R$，由正弦定理 $AB=2R\sin C=3$，得 $2R=5$.设 $AB$ 边上的高为 $h$，由面积两种表示 $h=2R\sin A\sin B=5\cdot \frac{\sqrt{6}+2}{5}=2+\sqrt{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角和差角与解三角形
2. 核心方法：$X=\sin A\cos B$，$Y=\cos A\sin B$：$X+Y=\frac{3}{5}$，$X-Y=\frac{1}{5}\Rightarrow X=\frac{2}{5},Y=\frac{1}{5}$，$\frac{\tan A}{\tan B}=\frac{X}{Y}=2$；$h=2R\sin A\sin B=5\cdot \frac{\sqrt{6}+2}{5}=2+\sqrt{6}$
3. 避坑指南：锐角三角形中 $A+B>\frac{\pi }{2}$，故 $\cos (A+B)=-\cos C<0$——别丢负号；高用面积两种表示 $h=2R\sin A\sin B$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角恒等变换与正弦定理，教材”解三角形”综合
2. 结论推广: 一般化：$\sin (A+B),\sin (A-B)$ 联立解出 $\sin A\cos B,\cos A\sin B$ 后可定 $\tan$ 比；和差式相加减分离出 $X,Y$；高与边长经外接圆半径 $2R$ 转换

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷文-18 解-正弦定理解三角形求面积
• 2006-山东文-06 单-正弦定理解三角形
• 2011-大纲卷文-18 解-正弦定理解三角形