2004-全国卷II文-17 解-等差通项与等比求和

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与等比数列的求和。核心在于由指数关系把 $b_n$ 化归为等比数列。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$，$a_2=9$，$a_5=21$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 令 $b_n=2^{a_n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设首项 $a_1$、公差 $d$，由 $a_2=9,a_5=21$ 列方程组。
2. 解出 $a_1=5$，$d=4$，得 $a_n=4n+1$。
3. $b_n=2^{a_n}=32\cdot 16^{n-1}$，是等比数列，套求和公式。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=4n+1$

(2) $S_n=\frac{32(16^n-1)}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设首项为 $a_1$、公差为 $d$，由 $\{\begin{array}{l}{a}_1+d=9\\ a_1+4d=21\end{array}$，两式相减得 $3d=12$，$d=4$，再由 $a_1+d=9$ 得 $a_1=5$.故 $a_n=a_1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1$. （2）$b_n=2^{a_n}=2^{4n+1}=32\cdot 16^{n-1}$，这是首项为 $32$、公比为 $16$ 的等比数列，故 $S_n=\frac{32(16^n-1)}{16-1}=\frac{32(16^n-1)}{15}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差通项与等比求和
2. 核心方法：$3d=12\Rightarrow d=4$，$a_1=5$，$a_n=4n+1$；$b_n=2^{a_n}=32\cdot 16^{n-1}$，$S_n=\frac{32(16^n-1)}{15}$
3. 避坑指南：$b_n=2^{a_n}$ 是等比数列（指数成等差）；首项 $b_1=2^5=32$、公比 $16$——求和公式代入后化简别丢分子分母

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等差与等比数列的综合，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：$b_n=q^{a_n}$（$a_n$ 等差）是公比 $q^d$ 的等比数列；先证 $b_{n+1}/b_n$ 为常数，再用等比求和公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-18 解-等比数列求和求通项
• 2005-浙江卷文-16 解-等差数列与等比数列基本量
• 2012-山东卷文-20 解-等差数列与等比数列求和