2005-浙江卷文-16 解-等差数列与等比数列基本量

本题导读

本题考查等差中项与等比中项的性质，以及方程组的建立与求解。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 已知实数 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，$a+1$，$b+1$，$c+4$ 成等比数列，且 $a+b+c=15$，求 $a$，$b$，$c$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差中项 $a+c=2b$ 与 $a+b+c=15$ 联立得 $b=5$。
2. 设公差 $d$，代入等比中项条件 $(b+1{)}^2=(a+1)(c+4)$。
3. 解出两组 $d$ 并检验。

✅【答案】

Success

因此(a, b, c) = (2, 5, 8) 或(a, b, c) = (11, 5, −1)

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a$，$b$，$c$ 成等差数列，所以 $a+c=2b$．又 $a+b+c=15$，从而 $3b=15$，即 $b=5$． 设等差数列的公差为 $d$，则 $a=5-d$，$c=5+d$．由 $a+1$，$b+1$，$c+4$ 成等比数列，得 $(b+1{)}^2=(a+1)(c+4)$，即 $36=(6-d)(9+d)=54-3d-d^2$，所以 $d^2+3d-18=0$，即 $(d-3)(d+6)=0$，故 $d=3$ 或 $d=-6$． 当 $d=3$ 时，$(a,b,c)=(2,5,8)$，此时 $a+1,b+1,c+4$ 为 $3,6,12$，成等比；当 $d=-6$ 时，$(a,b,c)=(11,5,-1)$，此时 $a+1,b+1,c+4$ 为 $12,6,3$，成等比．两组均符合题意，故 $(a,b,c)=(2,5,8)$ 或 $(11,5,-1)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列与等比数列基本量

核心方法：等差中项定 $b$，公差设元代入等比条件

避坑指南：$a+c=2b$ 与 $a+b+c=15$ 联立即得 $b=5$；等比条件 $(b+1{)}^2=(a+1)(c+4)$ 是非线性式，解出两组公差都要检验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 数列

结论推广：等差中项 $a+c=2b$、等比中项 $(b+1{)}^2=(a+1)(c+4)$ 联立可解三元

方法推广：多个数列条件交叉时，先用线性关系消元，再代入非线性关系解方程（注意验根）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷II理-16 填-数列极限代数运算
• 2020-新课标I文-10 单-等比数列
• 1998-全国卷理-16 填-圆过双曲线顶点的圆心距