2004-全国卷II文-04 单-圆关于直线的对称

本题导读

本题考查圆关于直线的对称，以及对称点坐标公式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 已知圆 $C$ 与圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 关于直线 $y=-x$ 对称，则圆 $C$ 的方程为()

A. $(x+1{)}^2+y^2=1$　B. $x^2+y^2=1$　C. $x^2+(y+1{)}^2=1$　D. $x^2+(y-1{)}^2=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 原圆圆心 $(1,0)$、半径 $1$。
2. 点 $(u,v)$ 关于 $y=-x$ 对称为 $(-v,-u)$，圆心 $(1,0)\to (0,-1)$。
3. 半径不变写方程。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

原圆圆心为 $(1,0)$，半径为 $1$.点 $(u,v)$ 关于直线 $y=-x$ 的对称点为 $(-v,-u)$，故圆心 $(1,0)$ 变为 $(0,-1)$，半径不变。圆 $C$ 的方程为 $x^2+(y+1{)}^2=1$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆关于直线的对称
2. 核心方法：圆心 $(1,0)$ 关于 $y=-x$ 对称为 $(0,-1)$，半径不变：$x^2+(y+1{)}^2=1$
3. 避坑指南：点 $(u,v)$ 关于 $y=-x$ 对称为 $(-v,-u)$——$(1,0)\to (0,-1)$，别把 $y$ 配平成 $(0,1)$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于圆的对称性，教材”直线与圆”对称问题
2. 结论推广: 一般化：点 $(u,v)$ 关于 $y=\pm x$ 及坐标轴对称的坐标规律；圆的对称只动圆心不改半径，用对称点公式直接写

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2005-重庆卷文-01 单-圆关于点的对称
• 2007-上海卷文-13 单-圆关于直线对称
• 2009-新课标Ⅰ文-05 单-圆关于直线对称