2004-全国卷I理-20 解-空间线面垂直

本题导读

本题考查空间线面垂直的判定与性质。核心在于空间直角坐标系法、几何量推导法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 如图，已知四棱锥 $P-ABCD$，$PB\perp AD$，侧面 $PAD$ 为边长等于 2 的正三角形，底面 $ABCD$ 为菱形，侧面 $PAD$ 与底面 $ABCD$ 所成的二面角为 $120^{\circ }$.

(1) 求点 $P$ 到平面 $ABCD$ 的距离；

(2) 求面 $APB$ 与面 $CPB$ 所成二面角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $AD$ 中点 $O$，连结 $PO,OB$。证明 $AD\perp \text{平面 }POB$，进而得到 $\angle POB$ 为二面角的平面角，即 $\angle POB=120^{\circ }$。
2. 在平面 $POB$ 内作 $PH\perp OB$ 于 $H$，则 $PH$ 为点 $P$ 到平面的距离。解三角形 $△POH$ 即可。
3. 以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标。
4. 分别求出平面 $APB$ 和平面 $CPB$ 的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\arccos \frac{2\sqrt{7}}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取 $AD$ 的中点 $O$，连接 $PO,OB$。 因为 $△PAD$ 是边长为 2 的正三角形，所以 $PO\perp AD$，且 $PO=\sqrt{3}$。 因为 $PB\perp AD$，$PO\cap PB=P$，所以 $AD\perp \text{平面 }POB$。 因为 $OB\subset \text{平面 }POB$，所以 $AD\perp OB$。 故 $\angle POB$ 是侧面 $PAD$ 与底面 $ABCD$ 所成二面角的平面角，$\angle POB=120^{\circ }$。 在平面 $POB$ 内，作 $PH\perp OB$ 交 $OB$ 的延长线于 $H$。 因为平面 $POB\perp \text{平面 }ABCD$，平面 $POB\cap \text{平面 }ABCD=OB$，$PH\perp OB$， 所以 $PH\perp \text{平面 }ABCD$，$PH$ 的长即为点 $P$ 到平面 $ABCD$ 的距离。 在 $\text{Rt}△POH$ 中，$\angle POH=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$，$PO=\sqrt{3}$， $PH=PO\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$。 所以，点 $P$ 到平面 $ABCD$ 的距离为 $\frac{3}{2}$。

(2) 以 $O$ 为坐标原点，直线 $OD,OB,OP$ 在平面 $POB$ 内的垂线分别为 $x,y,z$ 轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 由(1)知 $OH=PO\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $P\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)$。 $D(1,0,0)$，$A(-1,0,0)$。 因为底面 $ABCD$ 为菱形，$AD=2$，在 $\text{Rt}△AOB$ 中，$OB=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，则 $B(0,\sqrt{3},0)$。 $\overrightarrow{AB}=(1,\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$，则 $C(2,\sqrt{3},0)$。 $\overrightarrow{AP}=\left(1,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)$。 设平面 $APB$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$， $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AB}=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_1+\sqrt{3}{y}_1=0\\ x_1-\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_1+\frac{3}{2}{z}_1=0\end{array}$ 取 $y_1=-1$，得 $x_1=\sqrt{3}$，$z_1=-\sqrt{3}$，所以 ${\vec{n}}_1=(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})$。 $\overrightarrow{BC}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{BP}=\left(0,-\frac{3\sqrt{3}}{2},\frac{3}{2}\right)$。 设平面 $CPB$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$， $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}2x_2=0\\ -\frac{3\sqrt{3}}{2}{y}_2+\frac{3}{2}{z}_2=0\end{array}$ 取 $y_2=1$，得 $x_2=0$，$z_2=\sqrt{3}$，所以 ${\vec{n}}_2=(0,1,\sqrt{3})$。 $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{-1-3}{\sqrt{7}\times 2}=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$。 由图可知面 $APB$ 与面 $CPB$ 所成二面角为锐角， 所以二面角的大小为 $\arccos \frac{2\sqrt{7}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直定理应用；向量法求二面角。
2. 核心方法：坐标系法。
3. 避坑指南：建立坐标系时，务必注意点 $P$ 在 $y$ 轴上的投影位于负半轴，其纵坐标为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$，容易错写为正值导致后续计算全错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面垂直的判定与二面角的平面角，出自立体几何”直线与平面、平面与平面”的综合题。
2. 结论推广: 求二面角归结为作其平面角，常借助线面垂直或等腰三角形的三线合一；求点到平面的距离，除直接作垂线外，还可用等体积法转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷文-21 解-线面垂直二面角与距离
• 2006-山东文-20 解-四棱锥空间向量
• 2006-江西文-20 解-三棱锥角与距离