2004-全国卷I文-08 单-抛物线准线与斜率范围

本题导读

本题考查抛物线的准线，以及直线与抛物线的位置关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 设抛物线 $y^2=8x$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $Q$，若过点 $Q$ 的直线 $l$ 与抛物线有公共点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是()

A. $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$　　　　B. $[-2,2]$　　　　C. $[-1,1]$　　　　D. $[-4,4]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 准线 $x=-2$，$Q(-2,0)$；设 $l:y=k(x+2)$。
2. 代入 $y^2=8x$ 得 $k^2{x}^2+(4k^2-8)x+4k^2=0$。
3. $k=0$ 时相交；$k\ne 0$ 时 $\Delta ⩾0$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$y^2=8x$ 的准线为 $x=-2$，$Q(-2,0)$.设 $l:y=k(x+2)$，代入 $y^2=8x$ 得 $k^2{x}^2+(4k^2-8)x+4k^2=0$.当 $k=0$ 时直线为 $x$ 轴，与抛物线交于顶点，符合；当 $k\ne 0$ 时，$\Delta =(4k^2-8{)}^2-16k^4=64(1-k^2)⩾0$，得 $-1⩽k⩽1$.综上斜率取值范围为 $[-1,1]$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线准线与斜率范围
2. 核心方法：$y^2=8x$ 准线 $x=-2$，$Q(-2,0)$；$y=k(x+2)$ 代入得 $k^2{x}^2+(4k^2-8)x+4k^2=0$，$\Delta \ge 0$ 得 $-1\le k\le 1$
3. 避坑指南：抛物线 $y^2=8x$ 中 $2p=8$，准线 $x=-\frac{p}{2}=-2$；判别式整理后为 $64(1-k^2)\ge 0$——$k=0$ 时直线与对称轴重合也相交，勿漏

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线的准线与直线位置关系，教材”抛物线”与”直线与圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：过准线上一点的直线与抛物线的斜率范围，由判别式或焦点性质定；先求准线方程定 $Q$，再联立用判别式求斜率范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-北京卷文-09 填-抛物线准线与焦点
• 2006-浙江文-03 单-抛物线准线方程
• 2011-陕西卷文-02 单-抛物线准线求方程