2004-全国卷I文-05 单-二项展开常数项

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及展开式常数项的计算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） ${\left(2x^3-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^7$ 的展开式中常数项是()

A. $14$　　　　　　B. $-14$　　　　　　C. $42$　　　　　　D. $-42$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k(2x^3{)}^{7-k}{\left(-x^{-\frac{1}{2}}\right)}^k$。
2. 指数 $21-3k-\frac{k}{2}=21-\frac{7k}{2}$，令为零得 $k=6$。
3. 代回求系数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k(2x^3{)}^{7-k}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_7^k{2}^{7-k}{x}^{21-\frac{7k}{2}}$.令 $21-\frac{7k}{2}=0$ 得 $k=6$.常数项为 $(-1{)}^6{\mathrm{C}}_7^6\cdot 2^1=14$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开常数项
2. 核心方法：通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_7^k(2x^3{)}^{7-k}(-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^k={\mathrm{C}}_7^k{2}^{7-k}(-1{)}^k{x}^{21-3k-\frac{k}{2}}$，令 $21-\frac{7k}{2}=0$ 得 $k=6$，常数项 ${\mathrm{C}}_7^6\cdot 2=14$
3. 避坑指南：指数 $3(7-k)-\frac{k}{2}=21-\frac{7k}{2}$，令其为 0 得 $k=6$；$(-1{)}^6=1$，系数 ${\mathrm{C}}_7^6\cdot 2=14$——别把 $2^{7-k}$ 漏算

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理的通项公式，教材”二项式定理”指定项问题
2. 结论推广: 一般化：$(a{x}^p+b{x}^{-q}{)}^n$ 的常数项由 $p(n-k)-qk=0$ 定 $k$；写通项后令 $x$ 指数为零解 $k$，注意系数与负号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷文-14 填-两个二项式的常数项
• 2006-江西文-07 单-二项式常数项
• 2007-天津文-12 填-二项式常数项