2004-上海卷理-18 解-面积与周长最值

本题导读

本题考查几何图形的面积与周长建模。核心在于构造函数法、基本不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(理)） 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 $x、y$ (单位：$\text{m}$) 的矩形. 上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 $8{\text{ m}}^2$. 问 $x、y$ 分别为多少 (精确到 $0.001\text{ m}$) 时用料最省？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立面积关系式：总面积由下部矩形面积与上部等腰直角三角形面积组成。等腰直角三角形斜边为 $x$，对应的高为 $\frac{1}{2}x$，面积为 $\frac{1}{4}{x}^2$。以此列出关于 $x,y$ 的等式，将 $y$ 用含有 $x$ 的代数式表示。
2. 构建用料（周长）目标函数：用料总长 $L$ 为图形所有外围线段与内部隔线的长度之和。根据图示，用料包含矩形的三条边（长为 $x+2y$）、等腰直角三角形的两条直角边（长为 $2\times \frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{2}x$），以及作为内部隔线的矩形上边（长为 $x$）。
3. 求解最值：将 $y$ 的表达式代入目标函数 $L(x)$，利用基本不等式或求导得出 $L$ 取得最小值时 $x$ 的值，再反算出 $y$。

✅【答案】

Success

当 $x$ 约为 $2.343\text{ m}$， $y$ 约为 $2.828\text{ m}$ 时，用料最省

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：建立变量间的约束方程 由题意，上部是等腰直角三角形，其斜边长等于矩形的宽 $x$。 则该等腰直角三角形斜边上的高为 $\frac{1}{2}x$，两条直角边长均为 $\frac{\sqrt{2}}{2}x$。

  框架围成的总面积 $S$ 由下部矩形面积与上部三角形面积复合而成： $S=xy+\frac{1}{2}\times x\times \left(\frac{1}{2}x\right)=xy+\frac{1}{4}{x}^2$ 已知总面积 $S=8$，得： $xy+\frac{1}{4}{x}^2=8⟹y=\frac{8-\frac{1}{4}{x}^2}{x}=\frac{8}{x}-\frac{1}{4}x$ 由于边长必须为正数，由 $y>0$ 可得 $x$ 的实际取值范围为 $0<x<4\sqrt{2}$。

• 第二步：构建用料总长 $L$ 的目标函数 设制作框架的用料总长度为 $L$（即各线段长度之和）。 根据图形结构，用料包括下部矩形的底边（ $x$）、两条侧边（ $2y$）、作为分界线的中部横档（ $x$）以及上部等腰直角三角形的两条直角边（ $2\times \frac{\sqrt{2}}{2}x=\sqrt{2}x$）： $L=2x+2y+\sqrt{2}x=(2+\sqrt{2})x+2y$

  将 $y=\frac{8}{x}-\frac{1}{4}x$ 代入上式中，消去变量 $y$： $L=(2+\sqrt{2})x+2\left(\frac{8}{x}-\frac{1}{4}x\right)$ $L=(2+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}-\frac{1}{2}x=\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x+\frac{16}{x}$

• 第三步：利用基本不等式求解最值 因为 $x>0$， $\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x>0$， $\frac{16}{x}>0$， 由均值不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 可得： $L=\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x+\frac{16}{x}⩾2\sqrt{\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x\cdot \frac{16}{x}}=2\sqrt{16\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)}=8\sqrt{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}$

  当且仅当 $\left(\frac{3}{2}+\sqrt{2}\right)x=\frac{16}{x}$ 时，等号成立。 此时： $x^2=\frac{16}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}=\frac{32}{3+2\sqrt{2}}=32(3-2\sqrt{2})$ 开平方得： $x=\sqrt{32(3-2\sqrt{2})}=4\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=8-4\sqrt{2}$ 代入数据计算精确值： $x=8-4\times 1.41421\approx 2.343\text{ m}$。

  将 $x^2=32(3-2\sqrt{2})$ 对应的 $x=8-4\sqrt{2}$ 代入 $y$ 的表达式中： $y=\frac{8}{8-4\sqrt{2}}-\frac{1}{4}(8-4\sqrt{2})=\frac{2}{2-\sqrt{2}}-(2-\sqrt{2})=\frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2}-2+\sqrt{2}$ $y=(2+\sqrt{2})-2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ 代入数据计算精确值： $y=2\times 1.41421\approx 2.828\text{ m}$。

  由于 $x\approx 2.343\text{ m}$ 落在区间 $(0,4\sqrt{2})$ 内，符合题意。

答：当 $x$ 约为 $2.343\text{ m}$， $y$ 约为 $2.828\text{ m}$ 时，用料最省。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：组合几何图形的面积与周长代数建模、基本不等式 $a+b⩾2\sqrt{ab}$ 极限位置的求解。
2. 核心方法：一元化归消元法。
3. 避坑指南：
   • 不要漏掉图形内部的中部隔离横档线段。用料总长 $L$ 极易被粗心漏算掉中间那条长为 $x$ 的共有边，导致目标函数错列为 $L=x+2y+\sqrt{2}x$。
   • 双重根号的化简需要代数技巧。在处理 $x^2=\frac{32}{3+2\sqrt{2}}$ 时，应利用分母有理化将其转化为 $32(3-2\sqrt{2})$。注意到 $3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1{)}^2$，从而完美开方，避免了死算近似根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典应用题，考查初等数学在工程用料节约、面积最大化等实际生产场景下的数学建模能力。
2. 结论推广: 一般地，对于此类上部为特定几何图形（如半圆、正三角形、等腰直角三角形），下部为矩形的复合平铺框架结构，在总面积固定的约束下，当且仅当**下部矩形的各侧面有效用料比例与上部斜面投影斜率达到完全代数平分（即触发均值不等式等号）**时，系统周长取得绝对最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-24 解-基本不等式的实际应用
• 2001-大纲文-21 解-基本不等式求面积最小
• 2001-新课标卷文-18 解-基本不等式求面积最小