2004-上海卷文-10 填-绝对值函数增区间

本题导读

本题考查含绝对值函数的单调性，以及参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 若函数 $f(x)=a\left|x-b\right|+2$ 在 $[0,+\infty )$ 上为增函数，则实数 $a$、$b$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $b⩽0$ 时 $x⩾0$ 恒有 $x-b⩾0$，$f(x)=a(x-b)+2$，增须 $a>0$。
2. $b>0$ 时 $[0,b]$ 段 $f(x)=a(b-x)+2$ 增须 $a<0$，$[b,+\infty )$ 段须 $a>0$，矛盾。
3. 故 $a>0$ 且 $b⩽0$。

✅【答案】

Success

$a>0$，$b⩽0$

✍【详细解析】

Abstract

若 $b⩽0$，则对所有 $x⩾0$ 都有 $x-b⩾0$，于是 $f(x)=a(x-b)+2=ax-ab+2$，要使它在 $[0,+\infty )$ 上为增函数，必须且只需 $a>0$.若 $b>0$，则在 $[0,b]$ 上 $f(x)=a(b-x)+2$，在 $[b,+\infty )$ 上 $f(x)=a(x-b)+2$，前一段递增要求 $a<0$，后一段递增要求 $a>0$，不可能同时成立。因此 $a>0$ 且 $b⩽0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数增区间
2. 核心方法：$b⩽0$ 时 $x⩾0$ 恒有 $x-b⩾0$，$f(x)=a(x-b)+2$ 递增须 $a>0$；$b>0$ 时 $[0,b]$ 段递增须 $a<0$、$[b,+\infty )$ 段须 $a>0$，矛盾；故 $a>0$ 且 $b⩽0$
3. 避坑指南：按 $b$ 与 $0$ 的大小分两段讨论折点位置；$b>0$ 时两段斜率要求矛盾，直接排除

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于含绝对值的函数单调性，教材”函数的性质”
2. 结论推广: 一般化：$a|x-b|+c$ 的单调性由折点 $b$ 与区间位置关系决定；按折点在区间外/内分类，两段斜率要求同时满足才可行

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-13 填-绝对值函数单调区间
• 2005-湖北卷文-04 单-含绝对值函数的图象
• 2014-上海卷文-03 填-绝对值函数求值