2004-上海卷文-03 填-集合交并运算

本题导读

本题考查集合的交集与并集运算，以及元素与集合的关系。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 设集合 $A=\left\{5,{\log }_2(a+3)\right\}$，集合 $B=\{a,b\}$.若 $A\cap B=\{2\}$，则 $A\cup B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $2\in A\cap B$，故 $2\in A$，且 $2\ne 5$，所以 $2={\log }_2(a+3)$，$a=1$。
2. 此时 $A=\{2,5\}$，$B=\{1,b\}$ 须含 $2$，故 $b=2$。
3. $A\cup B=\{1,2,5\}$。

✅【答案】

Success

$\{1,2,5\}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A\cap B=\{2\}$，所以 $2\in A$.又 $5\in A$ 且 $5\ne 2$，故 $2={\log }_2(a+3)$，得 $a+3=4$，即 $a=1$.此时 $A=\{2,5\}$.为使 $2\in B=\{a,b\}=\{1,b\}$，必须有 $b=2$.因此 $A\cup B=\{1,2,5\}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合交并运算
2. 核心方法：$2\in A\cap B$ 故 $2\in A$，$2={\log }_2(a+3)$ 得 $a=1$；$B=\{1,b\}$ 含 $2$ 得 $b=2$；$A\cup B=\{1,2,5\}$
3. 避坑指南：${\log }_2(a+3)=2$ 解出 $a=1$ 后，$B=\{a,b\}=\{1,b\}$ 须含 $2$，故 $b=2$；并集列举勿漏 $5$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于集合的交集与并集运算，教材”集合”
2. 结论推广: 一般化：$x\in A\cap B\Rightarrow x\in A$ 且 $x\in B$，由元素属性列方程；先由交集定参数，再回代写各集合，最后按并集定义列举

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷文-01 单-集合的交集运算
• 2012-湖南卷文-01 单-集合的交集运算
• 2007-大纲Ⅰ文-01 单-集合的交集运算