2004-上海卷文-01 填-正切和角求值

本题导读

本题考查两角和的正切公式。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 若 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，则 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 和角公式 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }$。
2. 代入 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$：分子 $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，分母 $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
3. 原式 $=\frac{3/2}{1/2}=3$。

✅【答案】

Success

$3$

✍【详细解析】

Abstract

由两角和的正切公式，$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{1}{2}+1}{1-\frac{1}{2}\cdot 1}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}=3$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正切和角求值
2. 核心方法：和角公式 $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }$，代入 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 得 $\frac{3/2}{1/2}=3$
3. 避坑指南：分子分母同加：$\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 时分子 $\frac{3}{2}$、分母 $\frac{1}{2}$，别把分母写成 $1-\frac{1}{2}\cdot 1$ 后再漏算

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于两角和的正切公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$，知一求二；代公式前先确认 $\tan \alpha \tan \beta \ne 1$，再整体代入

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-17 解-两角和差正切求值
• 2008-北京文-09 填-正切二倍角
• 2007-江西文-04 单-两角差的正切公式