2005-全国卷II文-17 解-两角和差正切求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系、二倍角公式与两角和差的正切。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 已知 $\alpha$ 为第二象限的角，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\beta$ 为第一象限的角，$\cos \beta =\frac{5}{13}$，求 $\tan (2\alpha -\beta )$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\alpha$ 第二象限，$\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{4}{5}$，故 $\tan \alpha =-\frac{3}{4}$。
2. $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=-\frac{24}{7}$。
3. $\beta$ 第一象限，$\sin \beta =\frac{12}{13}$，$\tan \beta =\frac{12}{5}$；代入两角差正切公式。

✅【答案】

Success

$\frac{204}{253}$

✍【详细解析】

Abstract

$\alpha$ 为第二象限角，故 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$，从而 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{3}{4}$． 于是 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\times \left(-\frac{3}{4}\right)}{1-\frac{9}{16}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=-\frac{24}{7}$． 又 $\beta$ 为第一象限角，$\sin \beta =\sqrt{1-{\cos }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$，故 $\tan \beta =\frac{12}{5}$． 所以 $\tan (2\alpha -\beta )=\frac{\tan 2\alpha -\tan \beta }{1+\tan 2\alpha \tan \beta }=\frac{-\frac{24}{7}-\frac{12}{5}}{1+\left(-\frac{24}{7}\right)\times \frac{12}{5}}=\frac{-\frac{204}{35}}{1-\frac{288}{35}}=\frac{204}{253}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和差正切求值

核心方法：$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$（第二象限），$\tan \alpha =-\frac{3}{4}$，$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=-\frac{24}{7}$；$\tan \beta =\frac{12}{5}$，代入 $\tan (2\alpha -\beta )=\frac{204}{253}$

避坑指南：第二象限 $\cos \alpha <0$；$\tan 2\alpha =-\frac{24}{7}$；两角差正切分子分母别算错，结果为 $\frac{204}{253}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两角和差正切与二倍角公式的综合

结论推广：先由象限定符号，再套 $\tan 2\alpha$ 与 $\tan (2\alpha -\beta )$

方法推广：符号判断是前提，公式代入要仔细

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-01 填-三角函数周期
• 2009-大纲Ⅰ文-04 单-正切和角公式
• 2010-大纲Ⅱ文-03 单-诱导二倍角求值