2003-河南卷-22 解-二项式定理与导数证明

本题导读

本题考查导数定义与二项式定理。核心在于用定义证明幂函数导数并构造辅助函数证不等式。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 已知 $a>0$，$n$ 为正整数.

(1) 设 $y=(x-a{)}^n$，证明 $y^{\prime }=n(x-a{)}^{n-1}$；

(2) 设 $f_n(x)=x^n-(x-a{)}^n$，对任意 $n\ge a$，证明 $f_{n+1}^{\prime }(n+1)>(n+1)f_n^{\prime }(n)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 用导数定义，二项式展开取极限。
2. (2) 构造 $\Delta (a)$，证其关于 $a$ 单调递增。

✅【答案】

Success

(1)(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由二项式定理，$(x-a+h{)}^n-(x-a{)}^n=n(x-a{)}^{n-1}h+{\sum }_{k=2}^n{C}_n^k(x-a{)}^{n-k}{h}^k$，故 $y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x-a+h{)}^n-(x-a{)}^n}{h}=n(x-a{)}^{n-1}$. (2) 由 (1) 得 $f_n^{\prime }(x)=n[x^{n-1}-(x-a{)}^{n-1}]$.令 $\Delta (a)=(n+1{)}^n-(n+1-a{)}^n-n[n^{n-1}-(n-a{)}^{n-1}]$，则 $f_{n+1}^{\prime }(n+1)-(n+1)f_n^{\prime }(n)=(n+1)\Delta (a)$.由 $0<a\le n$ 且 $\Delta (0)=0$，对 $0<a<n$ 有 ${\Delta }^{\prime }(a)=n[(n+1-a{)}^{n-1}-(n-1)(n-a{)}^{n-2}]$.令 $t=n-a>0$，由二项式定理（$n\ge 2$ 时 $(t+1{)}^{n-1}>(n-1)t^{n-2}$，$n=1$ 时直接验证）得 ${\Delta }^{\prime }(a)>0$，故 $\Delta (a)>0$，不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式定理与导数证明
2. 核心方法：(1) 用导数定义与二项式展开证 $y^{\prime }=n(x-a{)}^{n-1}$；(2) 构造 $\Delta (a)$ 关于 $a$ 求导证不等式
3. 避坑指南：导数定义展开取极限；构造辅助函数单调性传递

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材导数定义与二项式定理
2. 结论推广: 一般地，幂函数导数用定义展开取极限证明；构造辅助函数用单调性传递不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-天津文-21 解-奇函数与极值单调性
• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2008-大纲Ⅰ文-19 解-数列递推错位相减