2003-河南卷-20 解-充要条件求参数范围

本题导读

本题考查充分必要条件与不等式。核心在于分别求两命题为真的参数范围。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 已知 $c>0$，设 $P$：函数 $y=c^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，$Q$：不等式 $x+|x-2c|>1$ 的解集为 $\mathbf{R}$.如果 $P$ 和 $Q$ 有且仅有一个正确，求 $c$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $P$ 正确 $⟺0<c<1$。
2. $Q$ 正确 $⟺2c>1⟺c>\frac{1}{2}$。
3. 取”恰一真”的对称差。

✅【答案】

Success

$c\in \left(0,\frac{1}{2}\right]\cup [1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=c^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减的充要条件是 $0<c<1$，故 $P$ 正确 $⟺0<c<1$.对于 $Q$，当 $x<2c$ 时 $x+|x-2c|=2c$，当 $x\ge 2c$ 时 $x+|x-2c|=2x-2c\ge 2c$，故不等式对一切 $x\in \mathbf{R}$ 成立的充要条件是 $2c>1$，即 $c>\frac{1}{2}$.当 $0<c\le \frac{1}{2}$ 时 $P$ 正确、$Q$ 错误；当 $c\ge 1$ 时 $P$ 错误、$Q$ 正确。故 $c\in \left(0,\frac{1}{2}\right]\cup [1,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件求参数范围
2. 核心方法：$P$ 正确 $⟺0<c<1$；$Q$ 正确 $⟺2c>1⟺c>\frac{1}{2}$；有且仅有一个正确得 $c\in \left(0,\frac{1}{2}\right]\cup [1,+\infty )$
3. 避坑指南：分别求两命题为真的范围，再取”恰一真”的对称差

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材常用逻辑用语
2. 结论推广: 一般地，“有且仅有一个正确”取两命题为真集合的对称差；分别求真域，再取并去交

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-09 单-充分必要条件的判定
• 2006-浙江文-07 单-充分必要条件判定
• 2007-福建文-04 单-充分必要条件