2003-河南卷-12 单-正四面体外接球

本题导读

本题考查正四面体的外接球，以及球的表面积公式。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 一个四面体的所有棱长都为 $\sqrt{2}$，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()

A. $3\pi$　　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　　C. $3\sqrt{3}\pi$　　　　　　　D. $6\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 棱长相等的四面体是正四面体，外接球心在高的 $\frac{1}{4}$ 处。
2. 底面外接圆半径 $\frac{\sqrt{6}}{3}$，球心到面距离 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$，勾股求 $R$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

所有棱长相等的四面体是正四面体，棱长 $\sqrt{2}$.底面正三角形外接圆半径为 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，正四面体的高为 $\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot \sqrt{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.球心到该底面的距离为高的 $\frac{1}{4}$，即 $\frac{1}{2\sqrt{3}}$.所以 $R^2={\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$，球表面积为 $4\pi R^2=3\pi$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四面体外接球
2. 核心方法：$R^2=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$，表面积 $4\pi R^2=3\pi$
3. 避坑指南：外接球心在高线上，球心到面距离为高的 $\frac{1}{4}$，用勾股定理求 $R$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材正四面体外接球
2. 结论推广: 一般地，棱长为 $a$ 的正四面体外接球半径 $R=\frac{\sqrt{6}}{4}a$，表面积 $\frac{3}{2}\pi a^2$；球心在高线上，勾股定理求 $R$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-12 单-正四面体外接球
• 2003-大纲文-12 单-正四面体外接球
• 2006-山东文-08 单-正方体内外接球