2003-河南卷-05 单-分段函数解不等式

本题导读

本题考查分段函数与不等式求解，以及指数函数、幂函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}-1,& x\le 0,\\ x^{\frac{1}{2}},& x>0.\end{array}$ 若 $f(x_0)>1$，则 $x_0$ 的取值范围是()

A. $(-1,1)$　　B. $(-1,+\infty )$　　C. $(-\infty ,-2)\cup (0,+\infty )$　　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x_0\le 0$：$2^{-x_0}-1>1$ 即 $2^{-x_0}>2$，得 $x_0<-1$。
2. $x_0>0$：$x_0^{\frac{1}{2}}>1$ 得 $x_0>1$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x_0\le 0$ 时，$f(x_0)>1$ 即 $2^{-x_0}-1>1$，$2^{-x_0}>2$，得 $x_0<-1$；当 $x_0>0$ 时，$f(x_0)>1$ 即 $x_0^{\frac{1}{2}}>1$，得 $x_0>1$.故 $x_0\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数解不等式
2. 核心方法：$x\le 0$ 时 $2^{-x}-1>1$ 得 $x<-1$；$x>0$ 时 $x^{\frac{1}{2}}>1$ 得 $x>1$；故 $x_0\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$
3. 避坑指南：分段求解后取并；第二段是 $x^{\frac{1}{2}}$ 不是 $\frac{1}{x^2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材分段函数
2. 结论推广: 一般地，分段函数解不等式逐段求解取并集；分段讨论，注意每段的定义域约束

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-06 单-分段函数解不等式
• 2003-天津文-07 单-分段函数解不等式
• 2004-浙江文-13 填-分段函数解不等式