2003-江苏卷-20 解-直线的参数方程与方向向量

本题导读

本题主要考查根据已知方向向量求解动点交点轨迹的方法，以及椭圆几何定义的逆向应用。解题的关键在于利用两直线的点斜式方程或参数形式，消去运动参数 $\lambda$ 建立动点 $P$ 的 $x,y$ 二元代数方程，再根据椭圆定义判定定点与定值的存在性。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） 已知常数 $a>0$，向量 $\vec{c}=(0,a)$，$\vec{i}=(1,0)$. 经过原点 $O$ 以 $\vec{c}+\lambda \vec{i}$ 为方向向量的直线与经过定点 $A(0,a)$ 以 $\vec{i}-2\lambda \vec{c}$ 为方向向量的直线相交于 $P$，其中 $\lambda \in \mathbf{R}$. 试问：是否存在两个定点 $E、F$，使得 $|PE|+|PF|$ 为定值. 若存在，求出 $E、F$ 的坐标；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出直线方向向量坐标：根据向量线性运算，计算出第一条直线的方向向量 ${\vec{v}}_1=\vec{c}+\lambda \vec{i}=(\lambda ,a)$；第二条直线的方向向量 ${\vec{v}}_2=\vec{i}-2\lambda \vec{c}=(1,-2\lambda a)$。

2. 构建直线方程组：

   • 第一条直线过原点 $O(0,0)$，斜率 $k_1=\frac{a}{\lambda }$ （若 $\lambda \ne 0$），直线方程为 $ax-\lambda y=0$。
   • 第二条直线过点 $A(0,a)$，斜率 $k_2=\frac{-2\lambda a}{1}=-2\lambda a$，直线方程为 $y-a=-2\lambda ax$。

3. 参数消元求轨迹：在两条直线方程中，通过代数移项与相乘法消去动态变化参数 $\lambda$，得到动点 $P(x,y)$ 的规范二元二次曲线轨迹方程。

4. 化简并识别曲线形态：将方程化为标准圆锥曲线方程。若为椭圆，依据椭圆定义 $|PE|+|PF|=2A$ 寻找焦点 $E,F$ 与长轴长 $2A$ 的数值，确认定点与定值是否存在。

✅【答案】

Success

存在。当 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$E\left(0,\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}\right)$，$F\left(0,\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}\right)$，定值 $a$；当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$E,F$ 重合于 $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$，定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；当 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$E\left(-\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4},\frac{a}{2}\right)$，$F\left(\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4},\frac{a}{2}\right)$，定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

根据向量的线性坐标运算： ${\vec{v}}_1=\vec{c}+\lambda \vec{i}=(0,a)+\lambda (1,0)=(\lambda ,a)$ ${\vec{v}}_2=\vec{i}-2\lambda \vec{c}=(1,0)-2\lambda (0,a)=(1,-2\lambda a)$

设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$。

1. 当 $\lambda \ne 0$ 时：

   • 经过原点 $O(0,0)$ 且以 ${\vec{v}}_1=(\lambda ,a)$ 为方向向量的直线 $l_1$ 方程为： $\frac{y}{x}=\frac{a}{\lambda }⟹\lambda =\frac{ax}{y}\text{(1)}$
   • 经过定点 $A(0,a)$ 且以 ${\vec{v}}_2=(1,-2\lambda a)$ 为方向向量的直线 $l_2$ 方程为： $\frac{y-a}{x}=\frac{-2\lambda a}{1}⟹y-a=-2\lambda ax\text{(2)}$

   将 ① 式代入 ② 式中以消去参数 $\lambda$： $y-a=-2\cdot \left(\frac{ax}{y}\right)\cdot ax$ $y-a=-\frac{2a^2{x}^2}{y}$

   两边同乘以 $y$（由 ① 知 $y\ne 0$）： $y(y-a)=-2a^2{x}^2⟹y^2-ay=-2a^2{x}^2$ $2a^2{x}^2+y^2-ay=0$

   对 $y$ 进行配方整理： $2a^2{x}^2+{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}$

   两边同除以右侧常数 $\frac{a^2}{4}$，化为标准方程： $\frac{2a^2{x}^2}{\frac{a^2}{4}}+\frac{{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2}{\frac{a^2}{4}}=1⟹\frac{x^2}{\frac{1}{8}}+\frac{{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2}{\frac{a^2}{4}}=1\text{(3)}$

2. 当 $\lambda =0$ 时： 方向向量分别为 ${\vec{v}}_1=(0,a)$ 和 ${\vec{v}}_2=(1,0)$。 此时直线 $l_1$ 为 $y$ 轴（$x=0$），直线 $l_2$ 为平行于 $x$ 轴的直线 $y=a$。 两直线交点为 $P(0,a)$。代入方程 ③ 验证： $\frac{0}{\frac{1}{8}}+\frac{(a-\frac{a}{2}{)}^2}{\frac{a^2}{4}}=\frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2}{4}}=1$，方程依然成立。

综上所述，动点 $P$ 的轨迹方程为： $\frac{x^2}{\frac{1}{8}}+\frac{{\left(y-\frac{a}{2}\right)}^2}{\frac{a^2}{4}}=1$

这是一个中心在 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$，焦点在垂直方向（$y$ 轴或与之平行线上）的椭圆。 其几何参数满足： $A^2=\frac{a^2}{4}⟹A=\frac{a}{2}(\text{因为 }a>0)$ $B^2=\frac{1}{8}$

根据椭圆第一定义，对任意动点 $P$ 到两焦点的距离之和恒等于长轴长 $2A$。 因此，存在定点 $E,F$（即该椭圆的两个焦点），使得 $|PE|+|PF|=2A=a$（定值）。

下面求解焦点 $E,F$ 的坐标。计算半焦距 $C$： $C^2=A^2-B^2=\frac{a^2}{4}-\frac{1}{8}=\frac{2a^2-1}{8}$

由于必须满足 $C^2>0$ 才能构成合法的椭圆，需要对常数 $a$ 的范围进行分类：

• 情况 1：当 $\frac{a^2}{4}>\frac{1}{8}$，即 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时： 长轴沿着 $y$ 轴方向，半焦距 $C=\sqrt{\frac{2a^2-1}{8}}=\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}$。 焦点由中心 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$ 沿 $y$ 轴上下平移 $C$ 得到： $E\left(0,\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}\right),F\left(0,\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{4a^2-2}}{4}\right)$

• 情况 2：当 $\frac{a^2}{4}=\frac{1}{8}$，即 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时： $C^2=0$，曲线退化为以 $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ 为圆心、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 为半径的圆。此时两焦点重合于圆心： $E,F\text{ 重合于点 }\left(0,\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

• 情况 3：当 $\frac{a^2}{4}<\frac{1}{8}$，即 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时： 长轴变为沿着 $x$ 轴方向。此时新的长轴平方为 $A^{\prime 2}=\frac{1}{8}$，短轴平方为 $B^{\prime 2}=\frac{a^2}{4}$。 定值变为 $2A^{\prime }=2\times \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 新半焦距 $C^{\prime }=\sqrt{\frac{1}{8}-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4}$。 焦点由中心 $\left(0,\frac{a}{2}\right)$ 沿 $x$ 轴左右平移 $C^{\prime }$ 得到： $E\left(-\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4},\frac{a}{2}\right),F\left(\frac{\sqrt{2-4a^2}}{4},\frac{a}{2}\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的方向向量与斜率互化公式 $k=\frac{v_y}{v_x}$，含参数方程组的消元技巧，椭圆第一定义 $|PE|+|PF|=2A$。
2. 核心方法：代数消元归纳法。通过乘积消去分母上的自变量 $\lambda$，将几何动点轨迹化归为二次标准型方程。
3. 避坑指南：

   • 极易忽略对 $\lambda =0$ 导致分母为 $0$ 的特例讨论，必须在求出轨迹方程后进行独立代入回检。

   • 极易漏掉对常数 $a$ 的大小进行分类讨论。由于长轴位置（横轴还是纵轴）取决于 $\frac{a^2}{4}$ 与 $\frac{1}{8}$ 的大小关系，若盲目判定长轴恒在 $y$ 轴，会导致在 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 范围内开方出现负数或焦点方向轴选错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于解析几何大板块中的高难度压轴大题，主要考查考生对解析几何中“用代数方法解决几何问题”这一核心纲领的贯彻能力，重点评估多参数分类讨论的严谨度。
2. 结论推广: 对于任意过点 $M(0,0)$ 方向向量为 $(\lambda ,\alpha )$ 与过点 $N(0,\beta )$ 方向向量为 $(1,-2\lambda \gamma )$ 的两条直线，其相交动点的轨迹在消去参数 $\lambda$ 后，恒表现为形如 $2\alpha \gamma x^2+y^2-\beta y=0$ 的二次曲线结构。通过调节常数项参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$，可以自由实现圆、椭圆、双曲线等各种圆锥曲线形态的参数化映射表达。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-15 单-双曲线的方程
• 2006-陕西文-21 解-向量参数轨迹方程
• 1977-吉林-12 解-椭圆标准方程