2003-江苏卷-14 填-抽样方法

本题导读

本题主要考查统计学中的分层抽样方法。解题的关键在于理解分层抽样的核心原则，即各层抽取的样本数量与该层在总体中所占的比例完全相同，通过计算总体的抽样比来确定每种型号轿车应抽取的具体数量。

📌【题干】

Question

（2003年江苏卷） 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆. 为检验该公司产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取$\underline{}$，$\underline{}$，$\underline{}$____辆.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总体总量：将三种型号轿车的产量相加，求出总体的总车辆数。

2. 计算核心抽样比：利用公式 $\text{抽样比}=\frac{\text{样本总容量}}{\text{总体总容量}}$，计算出本次抽样的总体比例。

3. 分层按比例计算：用抽样比分别乘以三种型号轿车的各自产量，计算出每种型号应抽取的车辆数。

✅【答案】

Success

$6，30，10$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算轿车的总体总量 总体总量 = $1200+6000+2000=9200$ 辆。

第二步：计算抽样比 已知样本总容量为 46 辆，则抽样比为： $\text{抽样比}=\frac{46}{9200}=\frac{1}{200}$

第三步：计算各型号应抽取的数量

• 第一种型号轿车应抽取： $1200\times \frac{1}{200}=6\text{ 辆}$
• 第二种型号轿车应抽取： $6000\times \frac{1}{200}=30\text{ 辆}$
• 第三种型号轿车应抽取： $2000\times \frac{1}{200}=10\text{ 辆}$

经检验，各层抽取数量之和为 $6+30+10=46$ 辆，符合样本容量要求。

答案：6，30，10

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样的定义与等比例抽取原则。
2. 核心方法：抽样比乘积法。保持各层抽样比 $\frac{n_i}{N_i}=\frac{n}{N}$ 恒定不变。
3. 避坑指南：

   • 答题时注意“依次”的顺序要求，填空的位置必须与题目中给出的“1200辆、6000辆、2000辆”的顺序一一对应，颠倒顺序会导致失分。

   • 分层抽样计算出的各层样本数必须为整数，若遇到非整数情况（本题数据为整除），通常需要先用简单随机抽样剔除个体，再进行分层。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于统计与概率板块中最基础的送分填空题，直接考查教材中对三种基本抽样方法（简单随机抽样、系统抽样、分层抽样）的特点及应用场景的掌握情况。
2. 结论推广: 分层抽样适用于总体由差异明显的几部分（层）组成的情况。若总体包含 $k$ 个部分，各部分数量为 $N_1,N_2,\dots ,N_k$，样本总容量为 $n$，则第 $i$ 部分应抽取的样本量 $n_i$ 的通用计算公式为： $n_i=n\times \frac{N_i}{{\sum }_{j=1}^k{N}_j}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2004-湖南理-05 单-抽样方法
• 2006-全国卷II理-16 填-分层抽样方法
• 2009-大纲卷II理-20 解-古典概型