2003-天津文-17 解-正四棱柱公垂线与距离

本题导读

本题考查正四棱柱中线线公垂线的证明与点到平面的距离。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，$AB=1$，$A{A}_1=2$，$E$ 为 $C{C}_1$ 中点，$F$ 为 $B{D}_1$ 中点.

(1) 证明：$EF$ 为 $B{D}_1$ 与 $C{C}_1$ 的公垂线；

(2) 求点 $D_1$ 到面 $BDE$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系，用向量证明 $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{B{D}_1}$ 且 $\overrightarrow{EF}\perp \overrightarrow{C{C}_1}$。
2. 求平面 $BDE$ 法向量 $n=(1,1,-1)$。
3. 点 $D_1$ 到面 $BDE$ 距离 $d=\frac{|n\cdot \overrightarrow{B{D}_1}|}{|n|}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $B(1,0,0),D(0,1,0),D_1(0,1,2),C_1(1,1,2)$，故 $E(1,1,1),F\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)$.于是 $\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$，$\overrightarrow{B{D}_1}=(-1,1,2)$，$\overrightarrow{C{C}_1}=(0,0,2)$.因 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+0=0$，$\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}=0$，且 $F\in B{D}_1$、$E\in C{C}_1$，故 $EF$ 同时垂直 $B{D}_1$ 与 $C{C}_1$，即 $EF$ 为它们的公垂线。 （2）$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BE}=(0,1,1)$，平面 $BDE$ 的法向量 $n=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BE}=(1,1,-1)$，故平面 $BDE$ 方程为 $x+y-z-1=0$.点 $D_1(0,1,2)$ 到该平面距离 $d=\frac{|0+1-2-1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱柱公垂线与距离
2. 核心方法：建系 $B(1,0,0),D(0,1,0),D_1(0,1,2)$，$E(1,1,1),F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$，$\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{B{D}_1}=0$ 且 $\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{C{C}_1}=0$；距离 $d=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
3. 避坑指南：向量证公垂线；点面距用 $d=\frac{|\overrightarrow{B{D}_1}\cdot n|}{|n|}$，法向量 $n=(1,1,-1)$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正四棱柱，教材”立体几何”
2. 结论推广: 一般化：向量法证公垂线、求点面距；建系求向量，点面距用法向量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-17 解-正四棱柱公垂线与距离
• 2006-重庆文-20 解-正四棱柱二面角异面角
• 2010-大纲Ⅱ文-19 解-直三棱柱公垂线与二面角