2003-天津文-08 单-向量角平分线轨迹

本题导读

本题考查向量线性运算的几何意义，重点在于单位向量和的方向。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） $O$ 是平面上一定点，$A,B,C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}\right)$，$\lambda \in [0,+\infty )$，则 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的()

A. 外心　　　　　B. 内心　　　　　C. 重心　　　　　D. 垂心

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ 与 $\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 是沿 $AB,AC$ 方向的单位向量。
2. 二者之和沿 $\angle BAC$ 的平分线方向。
3. $P$ 沿角平分线方向运动，轨迹过内心，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$ 与 $\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 分别是与 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 同向的单位向量，二者之和 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$ 的方向沿 $\angle BAC$ 的平分线方向（平行四边形为菱形，对角线平分顶角）．故 $P$ 的轨迹是过 $A$ 的 $\angle A$ 平分线，一定通过 $△ABC$ 的内心，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量角平分线轨迹
2. 核心方法：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda (\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|})$，括号内为 $\angle A$ 平分线方向，轨迹过内心
3. 避坑指南：$\overrightarrow{AB}/|\overrightarrow{AB}|$ 是单位向量，两单位向量和沿角平分线方向

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量线性运算，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：两单位向量和沿角平分线方向；向量分解判断轨迹过内心

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.07 三角形五心与奔驰定理

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅱ文-10 单-角平分线向量分解
• 2005-湖南卷文-09 单-向量数量积定三角形的心
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心