2003-天津文-07 单-分段函数解不等式

本题导读

本题考查分段函数与指数幂函数的单调性解不等式。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{-x}-1,& x⩽0\\ x^{\frac{1}{2}},& x>0\end{array}$，若 $f(x_0)>1$，则 $x_0$ 的取值范围是()

A. $(-1,1)$　　B. $(-1,+\infty )$　　C. $(-\infty ,-2)\cup (0,+\infty )$　　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x⩽0$ 时 $2^{-x}-1>1$，即 $2^{-x}>2=2^1$，$-x>1$，$x<-1$。
2. $x>0$ 时 $x^{1/2}>1$，即 $\sqrt{x}>1$，$x>1$。
3. 综上 $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x_0⩽0$ 时，$f(x_0)=2^{-x_0}-1>1$，即 $2^{-x_0}>2$，由指数函数单调递增得 $-x_0>1$，$x_0<-1$.当 $x_0>0$ 时，$f(x_0)=x_0^{\frac{1}{2}}>1$，即 $\sqrt{x_0}>1$，$x_0>1$.综上 $x_0\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数解不等式
2. 核心方法：$x⩽0$ 时 $2^{-x}-1>1$ 即 $2^{-x}>2$，$x<-1$；$x>0$ 时 $x^{1/2}>1$ 即 $x>1$；故 $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$
3. 避坑指南：分段函数分段解；$x^{1/2}=\sqrt{x}$，$x>1$ 时 $\sqrt{x}>1$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于分段函数与指数幂函数，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：分段函数不等式分段解后取并；分段讨论，注意各段定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-06 单-分段函数解不等式
• 2008-天津文-08 单-分段函数不等式
• 2014-新课标Ⅰ文-15 填-分段函数不等式