2003-天津文-04 单-二倍角正切求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系与二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 已知 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，$\cos x=\frac{4}{5}$，则 $\tan 2x=$()

A. $\frac{7}{24}$　　　　　　B. $-\frac{7}{24}$　　　　　　C. $\frac{24}{7}$　　　　　　D. $-\frac{24}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x\in (-\frac{\pi }{2},0)$，$\sin x<0$，$\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\frac{3}{5}$。
2. $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}$。
3. $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{-3/2}{1-9/16}=-\frac{24}{7}$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 知 $\sin x<0$，故 $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\frac{3}{5}$，从而 $\tan x=-\frac{3}{4}$.于是 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{2\times \left(-\frac{3}{4}\right)}{1-{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}=-\frac{24}{7}$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正切求值
2. 核心方法：$\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\frac{3}{5}$，$\tan x=-\frac{3}{4}$，$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{-3/2}{1-9/16}=-\frac{24}{7}$
3. 避坑指南：$x\in (-\frac{\pi }{2},0)$ 时 $\sin x<0$；二倍角公式分母 $1-{\tan }^{2}x$，注意符号

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二倍角公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：由 $\cos x$ 求 $\tan 2x$ 需先定 $\sin x$ 符号；由象限定 $\sin x$ 符号，再用二倍角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-02 单-二倍角正切求值
• 2004-全国卷III文-18 解-二倍角化简求值
• 2006-安徽文-17 解-同角二倍角求值