2003-天津文-02 单-抛物线准线求参数

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与准线方程，重点在于由准线反求参数。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 抛物线 $y=a{x}^2$ 的准线方程是 $y=2$，则 $a$ 的值为()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $-\frac{1}{8}$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $-8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=a{x}^2$ 即 $x^2=\frac{1}{a}y$，标准式 $x^2=2py$ 中 $2p=\frac{1}{a}$，$p=\frac{1}{2a}$。
2. 准线 $y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4a}$。
3. 由 $-\frac{1}{4a}=2$ 得 $a=-\frac{1}{8}$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=a{x}^2$ 得 $x^2=\frac{1}{a}y$，与标准式 $x^2=2py$ 对照有 $2p=\frac{1}{a}$，即 $p=\frac{1}{2a}$，故准线方程为 $y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4a}$.由题设准线为 $y=2$，得 $-\frac{1}{4a}=2$，解得 $a=-\frac{1}{8}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线准线求参数
2. 核心方法：$y=a{x}^2$ 即 $x^2=\frac{1}{a}y$，$2p=\frac{1}{a}$，$p=\frac{1}{2a}$；准线 $y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4a}=2$，得 $a=-\frac{1}{8}$
3. 避坑指南：抛物线 $x^2=2py$ 准线为 $y=-\frac{p}{2}$；先化标准式再定 $p$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线的标准方程与准线，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$x^2=2py$ 准线为 $y=-\frac{p}{2}$，由准线反求参数；化标准方程对照 $p$，再由准线定参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-03 单-抛物线准线方程
• 2014-安徽卷文-03 单-抛物线准线
• 2014-上海卷文-04 填-抛物线准线