2003-北京文-16 解-等差通项与错位相减

本题导读

本题考查等差数列的通项公式。核心在于错位相减法求等差乘等比型数列的前 n 项和。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_1=2$，$a_1+a_2+a_3=12$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 令 $b_n=a_n\cdot 3^{-n}$，求数列 $\{b_n\}$ 前 $n$ 项和的公式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=12$，代 $a_1=2$ 得 $d=2$，$a_n=2n$。
2. $b_n=2n\cdot 3^{-n}$，错位相减：$S_n$ 与 $\frac{1}{3}{S}_n$ 相减。

✅【答案】

Success

(1) $a_n=2n$；(2) $S_n=\frac{3}{2}\left(1-3^{-n}\right)-n\cdot 3^{-n}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设公差为 $d$，则 $a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=12$，又 $a_1=2$，得 $d=2$，所以 $a_n=2n$. (2) $b_n=2n\cdot 3^{-n}$，$S_n=2\cdot 3^{-1}+4\cdot 3^{-2}+\cdots +2n\cdot 3^{-n}$，$\frac{1}{3}{S}_n=2\cdot 3^{-2}+4\cdot 3^{-3}+\cdots +2n\cdot 3^{-n-1}$.两式相减得 $\frac{2}{3}{S}_n=2\left(3^{-1}+3^{-2}+\cdots +3^{-n}\right)-2n\cdot 3^{-n-1}=2\cdot \frac{3^{-1}(1-3^{-n})}{1-\frac{1}{3}}-2n\cdot 3^{-n-1}=1-3^{-n}-2n\cdot 3^{-n-1}$.所以 $S_n=\frac{3}{2}\left(1-3^{-n}\right)-n\cdot 3^{-n}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差通项与错位相减
2. 核心方法：$a_1+a_2+a_3=3a_1+3d=12$ 得 $d=2$，$a_n=2n$；$b_n=2n\cdot 3^{-n}$ 错位相减：$\frac{2}{3}{S}_n=(1-3^{-n})-n\cdot 3^{-n-1}\cdot \cdots$，解得 $S_n=\frac{3}{2}(1-3^{-n})-n\cdot 3^{-n}$
3. 避坑指南：错位相减乘公比后逐项对齐相减，末项单独处理

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材等差数列与错位相减
2. 结论推广: 一般地，等差乘等比型数列用错位相减法求和；先求通项再错位相减，注意末项处理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2006-安徽文-21 解-等差通项错位相减
• 2007-大纲Ⅰ文-21 解-等差等比数列与错位相减
• 2008-大纲Ⅰ文-19 解-数列递推错位相减