2006-安徽文-21 解-等差通项错位相减

本题导读

本题考查等差数列。核心在于错位相减法求和。

📌【题干】

Question

（2006年安徽卷(文)）在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足条件 $\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = \frac{4 n + 2}{n + 1}$ ， $n = 1$ ， $2$ ， $\dots$ 。

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 记 $b_{n} = a_{n} p^{a_{n}}$ （ $p > 0$ ），求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ 。

🔍【思路分析】

破题导航

$n = 1$ ： $\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{a _{1} + a _{2}}{a _{1}} = 3$ ，得 $a_{2} = 2$ ，公差 $d = 1$ 。

猜 $a_{n} = n$ ，验证： $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ， $S_{2 n} = n (2 n + 1)$ ， $\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n + 1} = \frac{4 n + 2}{n + 1}$ 成立。

由 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = a_{n} p^{a_{n}} = n p^{n}$ 。

$p = 1$ 时 $T_{n} = 1 + 2 + \dots + n$ ； $p \neq = 1$ 时错位相减： $T_{n}$ 与 $p T_{n}$ 相减得等比和。

✅【答案】

Success

(1) $a_{n} = n$

(2) $T_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ （ $p = 1$ ）； $T_{n} = \frac{p ( 1 - p ^{n} )}{( 1 - p ) ^{2}} - \frac{n p ^{n + 1}}{1 - p}$ （ $p \neq = 1$ ）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ 。 $n = 1$ 时， $\frac{S _{2}}{S _{1}} = \frac{a _{1} + a _{2}}{a _{1}} = \frac{4 + 2}{1 + 1} = 3$ ，即 $1 + a_{2} = 3$ ， $a_{2} = 2$ ，故 $d = a_{2} - a_{1} = 1$ 。此时 $a_{n} = n$ ， $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ， $S_{2 n} = \frac{2 n ( 2 n + 1 )}{2} = n (2 n + 1)$ 。验证： $\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = \frac{n ( 2 n + 1 )}{\frac{n ( n + 1 )}{2}} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{n + 1} = \frac{4 n + 2}{n + 1}$ ，对一切 $n$ 成立。所以 $a_{n} = n$ 。 (2) 由 $a_{n} = n$ ，得 $b_{n} = a_{n} p^{a_{n}} = n p^{n}$ ， $T_{n} = p + 2 p^{2} + 3 p^{3} + \dots + (n - 1) p^{n - 1} + n p^{n}$ 。当 $p = 1$ 时， $T_{n} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 。当 $p \neq = 1$ 时， $p T_{n} = p^{2} + 2 p^{3} + \dots + (n - 1) p^{n} + n p^{n + 1}$ ，两式相减： $(1 - p) T_{n} = p + p^{2} + \dots + p^{n} - n p^{n + 1} = \frac{p ( 1 - p ^{n} )}{1 - p} - n p^{n + 1}$ ，所以 $T_{n} = \frac{p ( 1 - p ^{n} )}{( 1 - p ) ^{2}} - \frac{n p ^{n + 1}}{1 - p}$ 。 ★【裁定】答案册题干印 $b_{n} = a_{n} p^{2 n}$ ，其 $T_{n}$ 按 $\sum k p^{2 k}$ 给出；原卷印 $b_{n} = a_{n} p^{a_{n}}$ （高倍放大目检确认），由 $a_{n} = n$ 得 $b_{n} = n p^{n}$ ，多源官方详解（中国教育在线/豆丁/人人文库/百度文库）一致，以原卷为准。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差通项错位相减

核心方法：n=1 求公差再验证通式

避坑指南： $n = 1$ 时 $\frac{S _{2}}{S _{1}} = 3$ 得 $d = 1$ ，验证 $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ 满足通式， $a_{n} = n$ ； $T_{n}$ 对 $p = 1$ 与 $p \neq = 1$ 分类， $p \neq = 1$ 用错位相减

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自等差数列与错位相减，数列综合大题

结论推广: $\frac{S _{2 n}}{S _{n}}$ 定通项推广到 $S_{m} / S_{n}$ 结构

方法推广: 先特值 $n = 1$ 定 $d$ 再验证； $\sum k q^{k}$ 错位相减分 $q = 1$ 与否

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

2010-四川卷文-20 解-等差数列错位相减

2012-天津卷文-18 解-等差等比数列错位相减

2008-大纲Ⅰ文-19 解-数列递推错位相减

∑ ( Math )

Explorer

2006-安徽文-21 解-等差通项错位相减

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks