2003-北京文-15 解-三角化简求周期最值

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于利用平方差与倍角公式化简后求周期与最值。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)={\cos }^{4}x-2\sin x\cos x-{\sin }^{4}x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 的最大值、最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. ${\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x=({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=\cos 2x$，$-2\sin x\cos x=-\sin 2x$。
2. $f(x)=\cos 2x-\sin 2x$，辅助角合一为 $\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。
3. 周期 $\frac{2\pi }{2}=\pi$；最值 $\pm \sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

(1) 最小正周期为 $\pi$；(2) 最大值为 $\sqrt{2}$，最小值为 $-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x-2\sin x\cos x=({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)-\sin 2x=\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$.所以最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$. (2) 由 (1) 知 $f(x)=\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，当 $2x+\frac{\pi }{4}=2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）时 $f(x)$ 取得最大值 $\sqrt{2}$；当 $2x+\frac{\pi }{4}=\pi +2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）时 $f(x)$ 取得最小值 $-\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角化简求周期最值
2. 核心方法：$f(x)={\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x-2\sin x\cos x=\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，周期 $\pi$，最大值 $\sqrt{2}$，最小值 $-\sqrt{2}$
3. 避坑指南：平方差化 $\cos 2x$ 后用辅助角合一；最值是 $\sqrt{2}$ 不是 $2$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材三角恒等变换
2. 结论推广: 一般地，高次三角式先降幂化一次式再求周期与最值；平方差化积、辅助角合一

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-20 解-三角最值周期与图象
• 2006-陕西文-18 解-辅助角与周期最值
• 2008-天津文-17 解-三角降幂周期最值