2003-上海卷理-06 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查集合的基本运算（交集与补集）以及两类基础不等式（绝对值不等式、一元二次不等式）的解法，侧重于考查对集合新定义描述的逻辑转化能力。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(理)） 设集合 $A=\{x||x|<4\}$，$B=\{x|x^2-4x+3>0\}$，则集合 $\{x|x\in A\text{ 且 }x\notin A\cap B\}=$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 首先分别解绝对值不等式和一元二次不等式，化简集合 $A$ 和集合 $B$。
2. 分析目标集合的逻辑含义：$x\in A$ 且 $x\notin A\cap B$，这意味着元素在 $A$ 中但不在 $A$ 与 $B$ 的公共部分，即属于 $A$ 且不属于 $B$。这等价于求 $A\cap ({\complement }_{R}B)$。
3. 利用数轴求出补集 ${\complement }_{R}B$，再与集合 $A$ 取交集，即可得到最终结果。

✅【答案】

Success

$\{x|1\le x\le 3\}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简集合 $A$ 与 $B$ 由 $|x|<4$，得 $-4<x<4$， 所以 $A=\{x|-4<x<4\}$。 由 $x^2-4x+3>0$，因式分解得 $(x-1)(x-3)>0$，解得 $x<1$ 或 $x>3$， 所以 $B=\{x|x<1\text{ 或 }x>3\}$。

第二步：转换目标集合 所求集合为 $\{x|x\in A\text{ 且 }x\notin A\cap B\}$。 因为 $x\in A$，若 $x\notin A\cap B$，则 $x$ 必不能属于 $B$。 故该集合等价于 $\{x|x\in A\text{ 且 }x\notin B\}=A\cap ({\complement }_{R}B)$。

第三步：计算结果 因为 $B=\{x|x<1\text{ 或 }x>3\}$， 所以其在实数集 $\mathbb{R}$ 中的补集为 ${\complement }_{R}B=\{x|1\le x\le 3\}$。 结合数轴，求 $A$ 与 ${\complement }_{R}B$ 的交集： $A\cap ({\complement }_{R}B)=\{x|-4<x<4\}\cap \{x|1\le x\le 3\}=\{x|1\le x\le 3\}$

故答案为 $\{x|1\le x\le 3\}$（或写成闭区间 $[1,3]$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的运算（交、并、补）及其几何意义；一元二次不等式与绝对值不等式的解法。
2. 核心方法：数轴法。处理连续型数集（区间）的运算时，画出数轴能直观、准确地确定端点的开闭状态。
3. 避坑指南：端点处的开闭符号极易出错。在求 ${\complement }_{R}B$ 时，原集合 $B$ 的不等号不带等号（开区间），其补集必须带等号（闭区间），即由 $x<1\text{ 或 }x>3$ 变为 $1\le x\le 3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题将不等式求解与集合的差集（相对补集）运算相融合，是高考对高一集合与不等式章节知识的标准综合考查。
2. 结论推广: 在集合论中，定义 $A$ 与 $B$ 的差集为 $A\setminus B=\{x|x\in A\text{ 且 }x\notin B\}$。本题给出的形式 $\{x|x\in A\text{ 且 }x\notin A\cap B\}$ 在恒等变形中满足： $A\setminus (A\cap B)=A\setminus B=A\cap ({\complement }_{U}B)$ 掌握此集合恒等式可快速跳过繁琐的交集过渡，直接进行补集和交集运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 2006-四川文-01 单-集合交集运算
• 2009-四川卷文-01 单-集合交集