2003-上海文-22 解-等比数列组合数恒等式

本题导读

本题考查等比数列与组合数恒等式。核心在于用 $(1 - q)^{n}$ 的展开式统一归纳证明。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)）已知数列 ${a_{n}}$ （ $n$ 为正整数）是首项是 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 求和： $a_{1} C_{2}^{0} - a_{2} C_{2}^{1} + a_{3} C_{2}^{2}$ ， $a_{1} C_{3}^{0} - a_{2} C_{3}^{1} + a_{3} C_{3}^{2} - a_{4} C_{3}^{3}$ ；

(2) 由 (1) 的结果归纳概括出关于正整数 $n$ 的一个结论，并加以证明；

(3) 设 $q \neq = 1$ ， $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求： $S_{1} C_{n}^{0} - S_{2} C_{n}^{1} + S_{3} C_{n}^{2} - S_{4} C_{n}^{3} + \dots + (- 1)^{n} S_{n + 1} C_{n}^{n}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 代入 $a_{k} = a_{1} q^{k - 1}$ 逐项算。

(2) 归纳 $a_{1} C_{n}^{0} - a_{2} C_{n}^{1} + \dots + (- 1)^{n} a_{n + 1} C_{n}^{n} = a_{1} (1 - q)^{n}$ ，用二项式定理证明。

(3) 代入 $S_{k} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{k} )}{1 - q}$ 化简。

✅【答案】

Success

(1) $a_{1} (1 - q)^{2}$ ， $a_{1} (1 - q)^{3}$ ；(2) $a_{1} (1 - q)^{n}$ ；(3) $\frac{a _{1} q}{q - 1} (1 - q)^{n}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a_{1} C_{2}^{0} - a_{2} C_{2}^{1} + a_{3} C_{2}^{2} = a_{1} - 2 a_{1} q + a_{1} q^{2} = a_{1} (1 - q)^{2}$ ； $a_{1} C_{3}^{0} - a_{2} C_{3}^{1} + a_{3} C_{3}^{2} - a_{4} C_{3}^{3} = a_{1} - 3 a_{1} q + 3 a_{1} q^{2} - a_{1} q^{3} = a_{1} (1 - q)^{3}$ . (2) 归纳结论： $a_{1} C_{n}^{0} - a_{2} C_{n}^{1} + a_{3} C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} a_{n + 1} C_{n}^{n} = a_{1} (1 - q)^{n}$ .证明：左边 $= a_{1} (C_{n}^{0} - q C_{n}^{1} + q^{2} C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} q^{n} C_{n}^{n}) = a_{1} (1 - q)^{n}$ （二项式定理）． (3) 由 $S_{k} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{k} )}{1 - q}$ ，原式 $= \frac{a _{1}}{1 - q} [(1 - q) C_{n}^{0} - (1 - q^{2}) C_{n}^{1} + \dots + (- 1)^{n} (1 - q^{n + 1}) C_{n}^{n}]$ $= \frac{a _{1}}{1 - q} [(C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + \dots + (- 1)^{n} C_{n}^{n}) - (q C_{n}^{0} - q^{2} C_{n}^{1} + \dots + (- 1)^{n} q^{n + 1} C_{n}^{n})]$ $= \frac{a _{1}}{1 - q} [0 - q (1 - q)^{n}] = \frac{a _{1} q}{q - 1} (1 - q)^{n}$ .

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列组合数恒等式

核心方法：(1) $a_{1} (1 - q)^{2}, a_{1} (1 - q)^{3}$ ；(2) 归纳 $a_{1} C_{n}^{0} - a_{2} C_{n}^{1} + \dots + (- 1)^{n} a_{n + 1} C_{n}^{n} = a_{1} (1 - q)^{n}$ ；(3) 代入 $S_{k} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{k} )}{1 - q}$ 得 $\frac{a _{1} q}{q - 1} (1 - q)^{n}$

避坑指南：组合数交错和可用 $(1 - q)^{n}$ 的展开式统一

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于教材二项式定理与等比数列

结论推广: 一般地，组合数交错和可化 $(1 - q)^{n}$ 展开式；先求低次归纳，再用二项式展开统一证明

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

19.02 等比数列全总结

22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

2004-上海卷文-09 填-二项式系数概率

2004-上海卷文-04 填-等比数列极限

2015-上海卷文-10 填-组合数

∑ ( Math )

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